Selesaikan {l}{0.3x+y=4.8}{x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x + y = 4.8 } \\ { x - y = 11 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{158}{13} = 12\frac{2}{13} \approx 12.153846154$$

$$y = \frac{15}{13} = 1\frac{2}{13} \approx 1.153846154$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$0.3x+y=4.8$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$0.3x=-y+4.8$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.3 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{10}{3}\left(-y+4.8\right)$$

Darabkan \frac{10}{3} kali -y+4.8.

$$x=-\frac{10}{3}y+16$$

Gantikan -\frac{10y}{3}+16 dengan x dalam persamaan lain, x-y=11.

$$-\frac{10}{3}y+16-y=11$$

Tambahkan -\frac{10y}{3} pada -y.

$$-\frac{13}{3}y+16=11$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{13}{3}y=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{13}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{15}{13}$$

Gantikan \frac{15}{13} dengan y dalam x=-\frac{10}{3}y+16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{15}{13}+16$$

Darabkan -\frac{10}{3} dengan \frac{15}{13} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{50}{13}+16$$

Tambahkan 16 pada -\frac{50}{13}.

$$x=\frac{158}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}&\frac{0.3}{0.3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{13}&\frac{10}{13}\\\frac{10}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{13}\times 4.8+\frac{10}{13}\times 11\\\frac{10}{13}\times 4.8-\frac{3}{13}\times 11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{158}{13}\\\frac{15}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

Untuk menjadikan \frac{3x}{10} dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 0.3.

$$0.3x+y=4.8,0.3x+0.3\left(-1\right)y=0.3\times 11$$

Permudahkan.

$$0.3x+y=4.8,0.3x-0.3y=3.3$$

Tolak 0.3x-0.3y=3.3 daripada 0.3x+y=4.8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$0.3x-0.3x+y+0.3y=4.8-3.3$$

Tambahkan \frac{3x}{10} pada -\frac{3x}{10}. Seubtan \frac{3x}{10} dan -\frac{3x}{10} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+0.3y=4.8-3.3$$

Tambahkan y pada \frac{3y}{10}.

$$1.3y=4.8-3.3$$

Tambahkan 4.8 pada -3.3 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$1.3y=1.5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 1.3 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{15}{13}$$

Gantikan \frac{15}{13} dengan y dalam x-y=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-\frac{15}{13}=11$$

Tambahkan \frac{15}{13} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{158}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$