Selesaikan {l}{0,6x+2y=20}{(2)-4x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 x + 2 y = 20 } \\ { ( 2 ) - 4 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{130}{43} = 3\frac{1}{43} \approx 3.023255814$$

$$y = \frac{391}{43} = 9\frac{4}{43} \approx 9.093023256$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$0.6x+2y=20$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$0.6x=-2y+20$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.6 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2y+20\right)$$

Darabkan \frac{5}{3} kali -2y+20.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}$$

Gantikan \frac{-10y+100}{3} dengan x dalam persamaan lain, -4x+y+2=-1.

$$-4\left(-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}\right)+y+2=-1$$

Darabkan -4 kali \frac{-10y+100}{3}.

$$\frac{40}{3}y-\frac{400}{3}+y+2=-1$$

Tambahkan \frac{40y}{3} pada y.

$$\frac{43}{3}y-\frac{400}{3}+2=-1$$

Tambahkan -\frac{400}{3} pada 2.

$$\frac{43}{3}y-\frac{394}{3}=-1$$

Tambahkan \frac{394}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{43}{3}y=\frac{391}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{43}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{391}{43}$$

Gantikan \frac{391}{43} dengan y dalam x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{391}{43}+\frac{100}{3}$$

Darabkan -\frac{10}{3} dengan \frac{391}{43} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{3910}{129}+\frac{100}{3}$$

Tambahkan \frac{100}{3} pada -\frac{3910}{129} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{130}{43}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{0.6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{0.6-2\left(-4\right)}&\frac{0.6}{0.6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&-\frac{10}{43}\\\frac{20}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 20-\frac{10}{43}\left(-3\right)\\\frac{20}{43}\times 20+\frac{3}{43}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{43}\\\frac{391}{43}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

Untuk menjadikan \frac{3x}{5} dan -4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 0.6.

$$-4\times 0.6x-4\times 2y=-4\times 20,0.6\left(-4\right)x+0.6y+0.6\times 2=0.6\left(-1\right)$$

Permudahkan.

$$-2.4x-8y=-80,-2.4x+0.6y+1.2=-0.6$$

Tolak -2.4x+0.6y+1.2=-0.6 daripada -2.4x-8y=-80 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2.4x+2.4x-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

Tambahkan -\frac{12x}{5} pada \frac{12x}{5}. Seubtan -\frac{12x}{5} dan \frac{12x}{5} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

Tambahkan -8y pada -\frac{3y}{5}.

$$-8.6y-1.2=-80+0.6$$

Tambahkan -80 pada 0.6.

$$-8.6y-1.2=-79.4$$

Tambahkan 1.2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-8.6y=-78.2$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -8.6 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{391}{43}$$

Gantikan \frac{391}{43} dengan y dalam -4x+y+2=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-4x+\frac{391}{43}+2=-1$$

Tambahkan \frac{391}{43} pada 2.

$$-4x+\frac{477}{43}=-1$$

Tolak \frac{477}{43} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=-\frac{520}{43}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=\frac{130}{43}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$