Selesaikan {l}{0,2x-0,3(2y+1)=1,5}{3(x+1)+3y=2y-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,2 x - 0,3 ( 2 y + 1 ) = 1,5 } \\ { 3 ( x + 1 ) + 3 y = 2 y - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-0.6$$

$$y=-3.2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -0.3 dengan 2y+1.

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

Tambahkan 0.3 pada kedua-dua belah.

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

Tambahkan 1.5 dan 0.3 untuk dapatkan 1.8.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+1.

$$3x+3+3y=2y-2$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

Gabungkan 3y dan -2y untuk mendapatkan y.

$$3x+3+y=-2$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah.

$$3x+y=-2-3$$

Tolak 3 daripada -2 untuk mendapatkan -5.

$$3x+y=-5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

Tambahkan \frac{3y}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$0.2x=0.6y+1.8$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=5\left(0.6y+1.8\right)$$

Darabkan 5 kali \frac{3y+9}{5}.

$$x=3y+9$$

Gantikan 9+3y dengan x dalam persamaan lain, 3x+y=-5.

$$3\left(3y+9\right)+y=-5$$

Darabkan 3 kali 9+3y.

$$9y+27+y=-5$$

Tambahkan 9y pada y.

$$10y+27=-5$$

Tolak 27 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10y=-32$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$y=-\frac{16}{5}$$

Gantikan -\frac{16}{5} dengan y dalam x=3y+9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=3\left(-\frac{16}{5}\right)+9$$

Darabkan 3 kali -\frac{16}{5}.

$$x=-\frac{48}{5}+9$$

Tambahkan 9 pada -\frac{48}{5}.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -0.3 dengan 2y+1.

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

Tambahkan 0.3 pada kedua-dua belah.

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

Tambahkan 1.5 dan 0.3 untuk dapatkan 1.8.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+1.

$$3x+3+3y=2y-2$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

Gabungkan 3y dan -2y untuk mendapatkan y.

$$3x+3+y=-2$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah.

$$3x+y=-2-3$$

Tolak 3 daripada -2 untuk mendapatkan -5.

$$3x+y=-5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}&-\frac{-0.6}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}\\-\frac{3}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}&\frac{0.2}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{10}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 1.8+\frac{3}{10}\left(-5\right)\\-\frac{3}{2}\times 1.8+\frac{1}{10}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-\frac{16}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -0.3 dengan 2y+1.

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

Tambahkan 0.3 pada kedua-dua belah.

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

Tambahkan 1.5 dan 0.3 untuk dapatkan 1.8.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+1.

$$3x+3+3y=2y-2$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

Gabungkan 3y dan -2y untuk mendapatkan y.

$$3x+3+y=-2$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah.

$$3x+y=-2-3$$

Tolak 3 daripada -2 untuk mendapatkan -5.

$$3x+y=-5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

Untuk menjadikan \frac{x}{5} dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 0.2.

$$3\times 0.2x+3\left(-0.6\right)y=3\times 1.8,0.2\times 3x+0.2y=0.2\left(-5\right)$$

Permudahkan.

$$0.6x-1.8y=5.4,0.6x+0.2y=-1$$

Tolak 0.6x+0.2y=-1 daripada 0.6x-1.8y=5.4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$0.6x-0.6x-1.8y-0.2y=5.4+1$$

Tambahkan \frac{3x}{5} pada -\frac{3x}{5}. Seubtan \frac{3x}{5} dan -\frac{3x}{5} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-1.8y-0.2y=5.4+1$$

Tambahkan -\frac{9y}{5} pada -\frac{y}{5}.

$$-2y=5.4+1$$

Tambahkan 5.4 pada 1.

$$-2y=6.4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=-\frac{16}{5}$$

Gantikan -\frac{16}{5} dengan y dalam 3x+y=-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-\frac{16}{5}=-5$$

Tambahkan \frac{16}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-\frac{9}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$