Selesaikan {l}{-x+5y=15}{4x+10y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} \approx -5.333333333$$

$$y = \frac{29}{15} = 1\frac{14}{15} \approx 1.933333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x+5y=15,4x+10y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x+5y=15$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-5y+15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(-5y+15\right)$$

Darabkan -1 kali -5y+15.

$$x=5y-15$$

Gantikan -15+5y dengan x dalam persamaan lain, 4x+10y=-2.

$$4\left(5y-15\right)+10y=-2$$

Darabkan 4 kali -15+5y.

$$20y-60+10y=-2$$

Tambahkan 20y pada 10y.

$$30y-60=-2$$

Tambahkan 60 pada kedua-dua belah persamaan.

$$30y=58$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 30.

$$y=\frac{29}{15}$$

Gantikan \frac{29}{15} dengan y dalam x=5y-15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=5\times \frac{29}{15}-15$$

Darabkan 5 kali \frac{29}{15}.

$$x=\frac{29}{3}-15$$

Tambahkan -15 pada \frac{29}{3}.

$$x=-\frac{16}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{29}{15}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x+5y=15,4x+10y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-10-5\times 4}&-\frac{5}{-10-5\times 4}\\-\frac{4}{-10-5\times 4}&-\frac{1}{-10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\\\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{30}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{3}\\\frac{29}{15}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{29}{15}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x+5y=15,4x+10y=-2$$

Untuk menjadikan -x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -1.

$$4\left(-1\right)x+4\times 5y=4\times 15,-4x-10y=-\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$-4x+20y=60,-4x-10y=2$$

Tolak -4x-10y=2 daripada -4x+20y=60 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-4x+4x+20y+10y=60-2$$

Tambahkan -4x pada 4x. Seubtan -4x dan 4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$20y+10y=60-2$$

Tambahkan 20y pada 10y.

$$30y=60-2$$

Tambahkan 60 pada -2.

$$30y=58$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 30.

$$y=\frac{29}{15}$$

Gantikan \frac{29}{15} dengan y dalam 4x+10y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+10\times \frac{29}{15}=-2$$

Darabkan 10 kali \frac{29}{15}.

$$4x+\frac{58}{3}=-2$$

Tolak \frac{58}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-\frac{64}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=-\frac{16}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{29}{15}$$