Selesaikan {l}{-x+5y=1}{-2x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-4$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x+5y=1$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-5y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(-5y+1\right)$$

Darabkan -1 kali -5y+1.

$$x=5y-1$$

Gantikan 5y-1 dengan x dalam persamaan lain, -2x-5y=11.

$$-2\left(5y-1\right)-5y=11$$

Darabkan -2 kali 5y-1.

$$-10y+2-5y=11$$

Tambahkan -10y pada -5y.

$$-15y+2=11$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-15y=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -15.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Gantikan -\frac{3}{5} dengan y dalam x=5y-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=5\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

Darabkan 5 kali -\frac{3}{5}.

$$x=-3-1$$

Tambahkan -1 pada -3.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{15}-\frac{1}{15}\times 11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Untuk menjadikan -x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -1.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2,-\left(-2\right)x-\left(-5y\right)=-11$$

Permudahkan.

$$2x-10y=-2,2x+5y=-11$$

Tolak 2x+5y=-11 daripada 2x-10y=-2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-10y-5y=-2+11$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-10y-5y=-2+11$$

Tambahkan -10y pada -5y.

$$-15y=-2+11$$

Tambahkan -2 pada 11.

$$-15y=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -15.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Gantikan -\frac{3}{5} dengan y dalam -2x-5y=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x-5\left(-\frac{3}{5}\right)=11$$

Darabkan -5 kali -\frac{3}{5}.

$$-2x+3=11$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$