Selesaikan {l}{-8x+4y=24}{-7x+7y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 24 } \\ { - 7 x + 7 y = 28 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-8x+4y=24$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-8x=-4y+24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+24\right)$$

Darabkan -\frac{1}{8} kali -4y+24.

$$x=\frac{1}{2}y-3$$

Gantikan \frac{y}{2}-3 dengan x dalam persamaan lain, -7x+7y=28.

$$-7\left(\frac{1}{2}y-3\right)+7y=28$$

Darabkan -7 kali \frac{y}{2}-3.

$$-\frac{7}{2}y+21+7y=28$$

Tambahkan -\frac{7y}{2} pada 7y.

$$\frac{7}{2}y+21=28$$

Tolak 21 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{2}y=7$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\times 2-3$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 2.

$$x=1-3$$

Tambahkan -3 pada 1.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{4}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{4}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 24+\frac{1}{7}\times 28\\-\frac{1}{4}\times 24+\frac{2}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Untuk menjadikan -8x dan -7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -8.

$$-7\left(-8\right)x-7\times 4y=-7\times 24,-8\left(-7\right)x-8\times 7y=-8\times 28$$

Permudahkan.

$$56x-28y=-168,56x-56y=-224$$

Tolak 56x-56y=-224 daripada 56x-28y=-168 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$56x-56x-28y+56y=-168+224$$

Tambahkan 56x pada -56x. Seubtan 56x dan -56x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-28y+56y=-168+224$$

Tambahkan -28y pada 56y.

$$28y=-168+224$$

Tambahkan -168 pada 224.

$$28y=56$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 28.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam -7x+7y=28. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-7x+7\times 2=28$$

Darabkan 7 kali 2.

$$-7x+14=28$$

Tolak 14 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7x=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=2$$