Selesaikan {l}{-7x-4y=62}{3x+y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 4 y = 62 } \\ { 3 x + y = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{54}{5} = 10\frac{4}{5} = 10.8$$

$$y = -\frac{172}{5} = -34\frac{2}{5} = -34.4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-7x-4y=62$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-7x=4y+62$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(4y+62\right)$$

Darabkan -\frac{1}{7} kali 4y+62.

$$x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}$$

Gantikan \frac{-4y-62}{7} dengan x dalam persamaan lain, 3x+y=-2.

$$3\left(-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}\right)+y=-2$$

Darabkan 3 kali \frac{-4y-62}{7}.

$$-\frac{12}{7}y-\frac{186}{7}+y=-2$$

Tambahkan -\frac{12y}{7} pada y.

$$-\frac{5}{7}y-\frac{186}{7}=-2$$

Tambahkan \frac{186}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{7}y=\frac{172}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{172}{5}$$

Gantikan -\frac{172}{5} dengan y dalam x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{7}\left(-\frac{172}{5}\right)-\frac{62}{7}$$

Darabkan -\frac{4}{7} dengan -\frac{172}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{688}{35}-\frac{62}{7}$$

Tambahkan -\frac{62}{7} pada \frac{688}{35} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{54}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{7}{-7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 62+\frac{4}{5}\left(-2\right)\\-\frac{3}{5}\times 62-\frac{7}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{54}{5}\\-\frac{172}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

Untuk menjadikan -7x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -7.

$$3\left(-7\right)x+3\left(-4\right)y=3\times 62,-7\times 3x-7y=-7\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$-21x-12y=186,-21x-7y=14$$

Tolak -21x-7y=14 daripada -21x-12y=186 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-21x+21x-12y+7y=186-14$$

Tambahkan -21x pada 21x. Seubtan -21x dan 21x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12y+7y=186-14$$

Tambahkan -12y pada 7y.

$$-5y=186-14$$

Tambahkan 186 pada -14.

$$-5y=172$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=-\frac{172}{5}$$

Gantikan -\frac{172}{5} dengan y dalam 3x+y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-\frac{172}{5}=-2$$

Tambahkan \frac{172}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{162}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{54}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$