Selesaikan {l}{-7x-2y=14}{6x+6y=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 2 y = 14 } \\ { 6 x + 6 y = 18 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-4$$

$$y=7$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-7x-2y=14$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-7x=2y+14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(2y+14\right)$$

Darabkan -\frac{1}{7} kali 14+2y.

$$x=-\frac{2}{7}y-2$$

Gantikan -\frac{2y}{7}-2 dengan x dalam persamaan lain, 6x+6y=18.

$$6\left(-\frac{2}{7}y-2\right)+6y=18$$

Darabkan 6 kali -\frac{2y}{7}-2.

$$-\frac{12}{7}y-12+6y=18$$

Tambahkan -\frac{12y}{7} pada 6y.

$$\frac{30}{7}y-12=18$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{30}{7}y=30$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{30}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=7$$

Gantikan 7 dengan y dalam x=-\frac{2}{7}y-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{7}\times 7-2$$

Darabkan -\frac{2}{7} kali 7.

$$x=-2-2$$

Tambahkan -2 pada -2.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{7}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\\\frac{1}{5}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 14-\frac{1}{15}\times 18\\\frac{1}{5}\times 14+\frac{7}{30}\times 18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-4,y=7$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

Untuk menjadikan -7x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -7.

$$6\left(-7\right)x+6\left(-2\right)y=6\times 14,-7\times 6x-7\times 6y=-7\times 18$$

Permudahkan.

$$-42x-12y=84,-42x-42y=-126$$

Tolak -42x-42y=-126 daripada -42x-12y=84 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-42x+42x-12y+42y=84+126$$

Tambahkan -42x pada 42x. Seubtan -42x dan 42x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12y+42y=84+126$$

Tambahkan -12y pada 42y.

$$30y=84+126$$

Tambahkan 84 pada 126.

$$30y=210$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 30.

$$y=7$$

Gantikan 7 dengan y dalam 6x+6y=18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x+6\times 7=18$$

Darabkan 6 kali 7.

$$6x+42=18$$

Tolak 42 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=7$$