Selesaikan {l}{-6x-4y=2}{2x+8y=26}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 6 x - 4 y = 2 } \\ { 2 x + 8 y = 26 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-6x-4y=2,2x+8y=26$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-6x-4y=2$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-6x=4y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(4y+2\right)$$

Darabkan -\frac{1}{6} kali 4y+2.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{-2y-1}{3} dengan x dalam persamaan lain, 2x+8y=26.

$$2\left(-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}\right)+8y=26$$

Darabkan 2 kali \frac{-2y-1}{3}.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}+8y=26$$

Tambahkan -\frac{4y}{3} pada 8y.

$$\frac{20}{3}y-\frac{2}{3}=26$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{20}{3}y=\frac{80}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{20}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} kali 4.

$$x=\frac{-8-1}{3}$$

Tambahkan -\frac{1}{3} pada -\frac{8}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-6x-4y=2,2x+8y=26$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{6}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{20}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 2-\frac{1}{10}\times 26\\\frac{1}{20}\times 2+\frac{3}{20}\times 26\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-6x-4y=2,2x+8y=26$$

Untuk menjadikan -6x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -6.

$$2\left(-6\right)x+2\left(-4\right)y=2\times 2,-6\times 2x-6\times 8y=-6\times 26$$

Permudahkan.

$$-12x-8y=4,-12x-48y=-156$$

Tolak -12x-48y=-156 daripada -12x-8y=4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-12x+12x-8y+48y=4+156$$

Tambahkan -12x pada 12x. Seubtan -12x dan 12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8y+48y=4+156$$

Tambahkan -8y pada 48y.

$$40y=4+156$$

Tambahkan 4 pada 156.

$$40y=160$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 40.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam 2x+8y=26. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+8\times 4=26$$

Darabkan 8 kali 4.

$$2x+32=26$$

Tolak 32 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=4$$