Selesaikan {l}{-5x+y=-12}{5y=10x-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 12 } \\ { 5 y = 10 x - 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 10x daripada kedua-dua belah.

$$5y-10x=-15$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-5x+y=-12$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=-y-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-12\right)$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali -y-12.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}$$

Gantikan \frac{12+y}{5} dengan x dalam persamaan lain, -10x+5y=-15.

$$-10\left(\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}\right)+5y=-15$$

Darabkan -10 kali \frac{12+y}{5}.

$$-2y-24+5y=-15$$

Tambahkan -2y pada 5y.

$$3y-24=-15$$

Tambahkan 24 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{5}\times 3+\frac{12}{5}$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 3.

$$x=\frac{3+12}{5}$$

Tambahkan \frac{12}{5} pada \frac{3}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 10x daripada kedua-dua belah.

$$5y-10x=-15$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{1}{-5\times 5-\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{15}\left(-15\right)\\-\frac{2}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 10x daripada kedua-dua belah.

$$5y-10x=-15$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Untuk menjadikan -5x dan -10x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -10 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -5.

$$-10\left(-5\right)x-10y=-10\left(-12\right),-5\left(-10\right)x-5\times 5y=-5\left(-15\right)$$

Permudahkan.

$$50x-10y=120,50x-25y=75$$

Tolak 50x-25y=75 daripada 50x-10y=120 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$50x-50x-10y+25y=120-75$$

Tambahkan 50x pada -50x. Seubtan 50x dan -50x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-10y+25y=120-75$$

Tambahkan -10y pada 25y.

$$15y=120-75$$

Tambahkan 120 pada -75.

$$15y=45$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 15.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam -10x+5y=-15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-10x+5\times 3=-15$$

Darabkan 5 kali 3.

$$-10x+15=-15$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-10x=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=3$$