Selesaikan {l}{-3x+5y=1}{4x-y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + 5 y = 1 } \\ { 4 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-3x+5y=1$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-5y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali -5y+1.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{5y-1}{3} dengan x dalam persamaan lain, 4x-y=10.

$$4\left(\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}\right)-y=10$$

Darabkan 4 kali \frac{5y-1}{3}.

$$\frac{20}{3}y-\frac{4}{3}-y=10$$

Tambahkan \frac{20y}{3} pada -y.

$$\frac{17}{3}y-\frac{4}{3}=10$$

Tambahkan \frac{4}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{17}{3}y=\frac{34}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{17}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

Darabkan \frac{5}{3} kali 2.

$$x=\frac{10-1}{3}$$

Tambahkan -\frac{1}{3} pada \frac{10}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-5\times 4}&-\frac{5}{-3\left(-1\right)-5\times 4}\\-\frac{4}{-3\left(-1\right)-5\times 4}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}+\frac{5}{17}\times 10\\\frac{4}{17}+\frac{3}{17}\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

Untuk menjadikan -3x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -3.

$$4\left(-3\right)x+4\times 5y=4,-3\times 4x-3\left(-1\right)y=-3\times 10$$

Permudahkan.

$$-12x+20y=4,-12x+3y=-30$$

Tolak -12x+3y=-30 daripada -12x+20y=4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-12x+12x+20y-3y=4+30$$

Tambahkan -12x pada 12x. Seubtan -12x dan 12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$20y-3y=4+30$$

Tambahkan 20y pada -3y.

$$17y=4+30$$

Tambahkan 4 pada 30.

$$17y=34$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 17.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 4x-y=10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-2=10$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=2$$