Selesaikan {l}{-3x+5y=-16}{-5x-4y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + 5 y = - 16 } \\ { - 5 x - 4 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-3x+5y=-16,-5x-4y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-3x+5y=-16$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-5y-16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y-16\right)$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali -5y-16.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}$$

Gantikan \frac{5y+16}{3} dengan x dalam persamaan lain, -5x-4y=-2.

$$-5\left(\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}\right)-4y=-2$$

Darabkan -5 kali \frac{5y+16}{3}.

$$-\frac{25}{3}y-\frac{80}{3}-4y=-2$$

Tambahkan -\frac{25y}{3} pada -4y.

$$-\frac{37}{3}y-\frac{80}{3}=-2$$

Tambahkan \frac{80}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{37}{3}y=\frac{74}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{37}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2\right)+\frac{16}{3}$$

Darabkan \frac{5}{3} kali -2.

$$x=\frac{-10+16}{3}$$

Tambahkan \frac{16}{3} pada -\frac{10}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-3x+5y=-16,-5x-4y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}&-\frac{5}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{37}&-\frac{5}{37}\\\frac{5}{37}&-\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{37}\left(-16\right)-\frac{5}{37}\left(-2\right)\\\frac{5}{37}\left(-16\right)-\frac{3}{37}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-3x+5y=-16,-5x-4y=-2$$

Untuk menjadikan -3x dan -5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -3.

$$-5\left(-3\right)x-5\times 5y=-5\left(-16\right),-3\left(-5\right)x-3\left(-4\right)y=-3\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$15x-25y=80,15x+12y=6$$

Tolak 15x+12y=6 daripada 15x-25y=80 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x-25y-12y=80-6$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-25y-12y=80-6$$

Tambahkan -25y pada -12y.

$$-37y=80-6$$

Tambahkan 80 pada -6.

$$-37y=74$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -37.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam -5x-4y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x-4\left(-2\right)=-2$$

Darabkan -4 kali -2.

$$-5x+8=-2$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-2$$