Selesaikan {l}{-3a=4a+2b-3}{-b/2a=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 a = 4 a + 2 b - 3 } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=1$$

$$b=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4a daripada kedua-dua belah.

$$-3a-4a=2b-3$$

Gabungkan -3a dan -4a untuk mendapatkan -7a.

$$-7a=2b-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$a=-\frac{1}{7}\left(2b-3\right)$$

Darabkan -\frac{1}{7} kali 2b-3.

$$a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}$$

Gantikan \frac{-2b+3}{7} dengan a dalam persamaan lain, -2a-b=0.

$$-2\left(-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}\right)-b=0$$

Darabkan -2 kali \frac{-2b+3}{7}.

$$\frac{4}{7}b-\frac{6}{7}-b=0$$

Tambahkan \frac{4b}{7} pada -b.

$$-\frac{3}{7}b-\frac{6}{7}=0$$

Tambahkan \frac{6}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{3}{7}b=\frac{6}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{3}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=-2$$

Gantikan -2 dengan b dalam a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}$$

Darabkan -\frac{2}{7} kali -2.

$$a=\frac{4+3}{7}$$

Tambahkan \frac{3}{7} pada \frac{4}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$a=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=1,b=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4a daripada kedua-dua belah.

$$-3a-4a=2b-3$$

Gabungkan -3a dan -4a untuk mendapatkan -7a.

$$-7a=2b-3$$

Tolak 2b daripada kedua-dua belah.

$$-7a-2b=-3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah a tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2a.

$$-b=2a$$

Tolak 2a daripada kedua-dua belah.

$$-b-2a=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=1,b=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4a daripada kedua-dua belah.

$$-3a-4a=2b-3$$

Gabungkan -3a dan -4a untuk mendapatkan -7a.

$$-7a=2b-3$$

Tolak 2b daripada kedua-dua belah.

$$-7a-2b=-3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah a tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2a.

$$-b=2a$$

Tolak 2a daripada kedua-dua belah.

$$-b-2a=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

Untuk menjadikan -7a dan -2a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -7.

$$-2\left(-7\right)a-2\left(-2\right)b=-2\left(-3\right),-7\left(-2\right)a-7\left(-1\right)b=0$$

Permudahkan.

$$14a+4b=6,14a+7b=0$$

Tolak 14a+7b=0 daripada 14a+4b=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$14a-14a+4b-7b=6$$

Tambahkan 14a pada -14a. Seubtan 14a dan -14a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4b-7b=6$$

Tambahkan 4b pada -7b.

$$-3b=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$b=-2$$

Gantikan -2 dengan b dalam -2a-b=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$-2a-\left(-2\right)=0$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2a=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$a=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=1,b=-2$$