Selesaikan {l}{-2x+3y=9}{7x-9y=-31}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 9 } \\ { 7 x - 9 y = - 31 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-4$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-2x+3y=9$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-3y+9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+9\right)$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali -3y+9.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}$$

Gantikan \frac{-9+3y}{2} dengan x dalam persamaan lain, 7x-9y=-31.

$$7\left(\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}\right)-9y=-31$$

Darabkan 7 kali \frac{-9+3y}{2}.

$$\frac{21}{2}y-\frac{63}{2}-9y=-31$$

Tambahkan \frac{21y}{2} pada -9y.

$$\frac{3}{2}y-\frac{63}{2}=-31$$

Tambahkan \frac{63}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{2}y=\frac{1}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{1}{3} dengan y dalam x=\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}-\frac{9}{2}$$

Darabkan \frac{3}{2} dengan \frac{1}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{1-9}{2}$$

Tambahkan -\frac{9}{2} pada \frac{1}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-2\left(-9\right)-3\times 7}&-\frac{3}{-2\left(-9\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{-2\left(-9\right)-3\times 7}&-\frac{2}{-2\left(-9\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 9-31\\\frac{7}{3}\times 9+\frac{2}{3}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

Untuk menjadikan -2x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -2.

$$7\left(-2\right)x+7\times 3y=7\times 9,-2\times 7x-2\left(-9\right)y=-2\left(-31\right)$$

Permudahkan.

$$-14x+21y=63,-14x+18y=62$$

Tolak -14x+18y=62 daripada -14x+21y=63 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-14x+14x+21y-18y=63-62$$

Tambahkan -14x pada 14x. Seubtan -14x dan 14x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$21y-18y=63-62$$

Tambahkan 21y pada -18y.

$$3y=63-62$$

Tambahkan 63 pada -62.

$$3y=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{1}{3} dengan y dalam 7x-9y=-31. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x-9\times \frac{1}{3}=-31$$

Darabkan -9 kali \frac{1}{3}.

$$7x-3=-31$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$