Selesaikan {l}{-2a-b+8=0}{-2b+a+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 a - b + 8 = 0 } \\ { - 2 b + a + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=3$$

$$b=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-2a-b+8=0$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2a-b=-8$$

Tambahkan b pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2a=b-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$a=-\frac{1}{2}\left(b-8\right)$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali b-8.

$$a=-\frac{1}{2}b+4$$

Gantikan -\frac{b}{2}+4 dengan a dalam persamaan lain, a-2b+1=0.

$$-\frac{1}{2}b+4-2b+1=0$$

Tambahkan -\frac{b}{2} pada -2b.

$$-\frac{5}{2}b+4+1=0$$

Tambahkan 4 pada 1.

$$-\frac{5}{2}b+5=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{2}b=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=2$$

Gantikan 2 dengan b dalam a=-\frac{1}{2}b+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 2.

$$a=-1+4$$

Tambahkan 4 pada -1.

$$a=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=3,b=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-8\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\-\frac{1}{5}\left(-8\right)-\frac{2}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=3,b=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

Untuk menjadikan -2a dan a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -2.

$$-2a-b+8=0,-2a-2\left(-2\right)b-2=0$$

Permudahkan.

$$-2a-b+8=0,-2a+4b-2=0$$

Tolak -2a+4b-2=0 daripada -2a-b+8=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2a+2a-b-4b+8+2=0$$

Tambahkan -2a pada 2a. Seubtan -2a dan 2a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-b-4b+8+2=0$$

Tambahkan -b pada -4b.

$$-5b+8+2=0$$

Tambahkan 8 pada 2.

$$-5b+10=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5b=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$b=2$$

Gantikan 2 dengan b dalam a-2b+1=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a-2\times 2+1=0$$

Darabkan -2 kali 2.

$$a-4+1=0$$

Tambahkan -4 pada 1.

$$a-3=0$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$a=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=3,b=2$$