Selesaikan {l}{-10x-3y=9}{-5x+5y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x - 3 y = 9 } \\ { - 5 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-10x-3y=9$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-10x=3y+9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(3y+9\right)$$

Darabkan -\frac{1}{10} kali 9+3y.

$$x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}$$

Gantikan \frac{-3y-9}{10} dengan x dalam persamaan lain, -5x+5y=-2.

$$-5\left(-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}\right)+5y=-2$$

Darabkan -5 kali \frac{-3y-9}{10}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+5y=-2$$

Tambahkan \frac{3y}{2} pada 5y.

$$\frac{13}{2}y+\frac{9}{2}=-2$$

Tolak \frac{9}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{13}{2}y=-\frac{13}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{13}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{10}\left(-1\right)-\frac{9}{10}$$

Darabkan -\frac{3}{10} kali -1.

$$x=\frac{3-9}{10}$$

Tambahkan -\frac{9}{10} pada \frac{3}{10} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{3}{65}\\-\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 9-\frac{3}{65}\left(-2\right)\\-\frac{1}{13}\times 9+\frac{2}{13}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

Untuk menjadikan -10x dan -5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -10.

$$-5\left(-10\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 9,-10\left(-5\right)x-10\times 5y=-10\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$50x+15y=-45,50x-50y=20$$

Tolak 50x-50y=20 daripada 50x+15y=-45 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$50x-50x+15y+50y=-45-20$$

Tambahkan 50x pada -50x. Seubtan 50x dan -50x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$15y+50y=-45-20$$

Tambahkan 15y pada 50y.

$$65y=-45-20$$

Tambahkan -45 pada -20.

$$65y=-65$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 65.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam -5x+5y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x+5\left(-1\right)=-2$$

Darabkan 5 kali -1.

$$-5x-5=-2$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$