Selesaikan {l}{(x-2)^2-2(x-2y)=1-(3-x)(3+x)}{2x+y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ^ { 2 } - 2 ( x - 2 y ) = 1 - ( 3 - x ) ( 3 + x ) } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Gabungkan -4x dan -2x untuk mendapatkan -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Pertimbangkan \left(3-x\right)\left(3+x\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kuasa dua 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 9-x^{2}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

Tolak 9 daripada 1 untuk mendapatkan -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Gabungkan x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah.

$$-6x+4y=-8-4$$

Tolak 4 daripada -8 untuk mendapatkan -12.

$$-6x+4y=-12$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-6x+4y=-12$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-6x=-4y-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-4y-12\right)$$

Darabkan -\frac{1}{6} kali -4y-12.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

Gantikan \frac{2y}{3}+2 dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=4.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+y=4$$

Darabkan 2 kali \frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4+y=4$$

Tambahkan \frac{4y}{3} pada y.

$$\frac{7}{3}y+4=4$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{3}y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=\frac{2}{3}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Gabungkan -4x dan -2x untuk mendapatkan -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Pertimbangkan \left(3-x\right)\left(3+x\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kuasa dua 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 9-x^{2}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

Tolak 9 daripada 1 untuk mendapatkan -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Gabungkan x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah.

$$-6x+4y=-8-4$$

Tolak 4 daripada -8 untuk mendapatkan -12.

$$-6x+4y=-12$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-6-4\times 2}&-\frac{4}{-6-4\times 2}\\-\frac{2}{-6-4\times 2}&-\frac{6}{-6-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\times 4\\\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Gabungkan -4x dan -2x untuk mendapatkan -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Pertimbangkan \left(3-x\right)\left(3+x\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kuasa dua 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 9-x^{2}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

Tolak 9 daripada 1 untuk mendapatkan -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Gabungkan x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah.

$$-6x+4y=-8-4$$

Tolak 4 daripada -8 untuk mendapatkan -12.

$$-6x+4y=-12$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

Untuk menjadikan -6x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -6.

$$2\left(-6\right)x+2\times 4y=2\left(-12\right),-6\times 2x-6y=-6\times 4$$

Permudahkan.

$$-12x+8y=-24,-12x-6y=-24$$

Tolak -12x-6y=-24 daripada -12x+8y=-24 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-12x+12x+8y+6y=-24+24$$

Tambahkan -12x pada 12x. Seubtan -12x dan 12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y+6y=-24+24$$

Tambahkan 8y pada 6y.

$$14y=-24+24$$

Tambahkan -24 pada 24.

$$14y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 14.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 2x+y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=0$$