Selesaikan {l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Tambahkan 4 dan 1 untuk dapatkan 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Gabungkan x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 0.

$$4x+5=5y$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah.

$$4x+5-5y=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$4x-5y=-5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-5y=-5$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=5y-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -5+5y.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

Gantikan \frac{-5+5y}{4} dengan x dalam persamaan lain, 3x+y=1.

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

Darabkan 3 kali \frac{-5+5y}{4}.

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

Tambahkan \frac{15y}{4} pada y.

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

Tambahkan \frac{15}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{19}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5-5}{4}$$

Tambahkan -\frac{5}{4} pada \frac{5}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Tambahkan 4 dan 1 untuk dapatkan 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Gabungkan x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 0.

$$4x+5=5y$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah.

$$4x+5-5y=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$4x-5y=-5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Tambahkan 4 dan 1 untuk dapatkan 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Gabungkan x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 0.

$$4x+5=5y$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah.

$$4x+5-5y=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$4x-5y=-5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Untuk menjadikan 4x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

Permudahkan.

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

Tolak 12x+4y=4 daripada 12x-15y=-15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-15y-4y=-15-4$$

Tambahkan -15y pada -4y.

$$-19y=-15-4$$

Tambahkan -15 pada -4.

$$-19y=-19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -19.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam 3x+y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+1=1$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=1$$