Selesaikan {l}{(a+2012)-2(b-2013)=3}{3(a+2012)+4(b-2013)=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( a + 2012 ) - 2 ( b - 2013 ) = 3 } \\ { 3 ( a + 2012 ) + 4 ( b - 2013 ) = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a = -\frac{10049}{5} = -2009\frac{4}{5} = -2009.8$$

$$b = \frac{10063}{5} = 2012\frac{3}{5} = 2012.6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

Darabkan -2 kali b-2013.

$$a-2b+4026+2012=3$$

Tambahkan 4026 pada 2012.

$$a-2b+6038=3$$

Tolak 6038 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$a-2b=-6035$$

Tambahkan 2b pada kedua-dua belah persamaan.

$$a=2b-6035$$

Gantikan 2b-6035 dengan a dalam persamaan lain, 3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5.

$$3\left(2b-6035+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Tambahkan -6035 pada 2012.

$$3\left(2b-4023\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Darabkan 3 kali 2b-4023.

$$6b-12069+4\left(b-2013\right)=5$$

Darabkan 4 kali b-2013.

$$6b-12069+4b-8052=5$$

Tambahkan 6b pada 4b.

$$10b-12069-8052=5$$

Tambahkan -12069 pada -8052.

$$10b-20121=5$$

Tambahkan 20121 pada kedua-dua belah persamaan.

$$10b=20126$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$b=\frac{10063}{5}$$

Gantikan \frac{10063}{5} dengan b dalam a=2b-6035. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=2\times \frac{10063}{5}-6035$$

Darabkan 2 kali \frac{10063}{5}.

$$a=\frac{20126}{5}-6035$$

Tambahkan -6035 pada \frac{20126}{5}.

$$a=-\frac{10049}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Permudahkan persamaan pertama untuk meletakkannya dalam bentuk piawai.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

Darabkan -2 kali b-2013.

$$a-2b+4026+2012=3$$

Tambahkan 4026 pada 2012.

$$a-2b+6038=3$$

Tolak 6038 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$a-2b=-6035$$

Permudahkan persamaan kedua untuk meletakkannya dalam bentuk piawai.

$$3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Darabkan 3 kali a+2012.

$$3a+6036+4\left(b-2013\right)=5$$

Darabkan 4 kali b-2013.

$$3a+6036+4b-8052=5$$

Tambahkan 6036 pada -8052.

$$3a+4b-2016=5$$

Tambahkan 2016 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3a+4b=2021$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6035\right)+\frac{1}{5}\times 2021\\-\frac{3}{10}\left(-6035\right)+\frac{1}{10}\times 2021\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10049}{5}\\\frac{10063}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$