Selesaikan {l}{(A+B)1/2-B=3/4}{(2A+B)1/4-B=5/4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( A + B ) \frac { 1 } { 2 } - B = \frac { 3 } { 4 } } \\ { ( 2 A + B ) \frac { 1 } { 4 } - B = \frac { 5 } { 4 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk A, B

$$A=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$B=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab A+B dengan \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}$$

Gabungkan \frac{1}{2}B dan -B untuk mendapatkan -\frac{1}{2}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2A+B dengan \frac{1}{4}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}$$

Gabungkan \frac{1}{4}B dan -B untuk mendapatkan -\frac{3}{4}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk A dengan mengasingkan A di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Tambahkan \frac{B}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$A=2\left(\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}\right)$$

Darabkan 2 kali \frac{B}{2}+\frac{3}{4}.

$$A=B+\frac{3}{2}$$

Gantikan B+\frac{3}{2} dengan A dalam persamaan lain, \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}.

$$\frac{1}{2}\left(B+\frac{3}{2}\right)-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Darabkan \frac{1}{2} kali B+\frac{3}{2}.

$$\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Tambahkan \frac{B}{2} pada -\frac{3B}{4}.

$$-\frac{1}{4}B+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$$

Tolak \frac{3}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{4}B=\frac{1}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -4.

$$B=-2$$

Gantikan -2 dengan B dalam A=B+\frac{3}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk A.

$$A=-2+\frac{3}{2}$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada -2.

$$A=-\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$A=-\frac{1}{2},B=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab A+B dengan \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}$$

Gabungkan \frac{1}{2}B dan -B untuk mendapatkan -\frac{1}{2}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2A+B dengan \frac{1}{4}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}$$

Gabungkan \frac{1}{4}B dan -B untuk mendapatkan -\frac{3}{4}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times \frac{3}{4}-4\times \frac{5}{4}\\4\times \frac{3}{4}-4\times \frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks A dan B.

$$A=-\frac{1}{2},B=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab A+B dengan \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}$$

Gabungkan \frac{1}{2}B dan -B untuk mendapatkan -\frac{1}{2}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2A+B dengan \frac{1}{4}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}$$

Gabungkan \frac{1}{4}B dan -B untuk mendapatkan -\frac{3}{4}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Tolak \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4} daripada \frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=\frac{3-5}{4}$$

Tambahkan \frac{A}{2} pada -\frac{A}{2}. Seubtan \frac{A}{2} dan -\frac{A}{2} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=\frac{3-5}{4}$$

Tambahkan -\frac{B}{2} pada \frac{3B}{4}.

$$\frac{1}{4}B=\frac{3-5}{4}$$

Tambahkan \frac{3}{4} pada -\frac{5}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$\frac{1}{4}B=-\frac{1}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 4.

$$B=-2$$

Gantikan -2 dengan B dalam \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk A.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}\left(-2\right)=\frac{5}{4}$$

Darabkan -\frac{3}{4} kali -2.

$$\frac{1}{2}A+\frac{3}{2}=\frac{5}{4}$$

Tolak \frac{3}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}A=-\frac{1}{4}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$A=-\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$A=-\frac{1}{2},B=-2$$