Selesaikan {l}{x-y/5-y/2=x-1}{x/3+y+2/2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 5 } - \frac { y } { 2 } = x - 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y + 2 } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 10, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Gabungkan -2y dan -5y untuk mendapatkan -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

Tolak 10x daripada kedua-dua belah.

$$2x-7y-10x=-10$$

Gabungkan 2x dan -10x untuk mendapatkan -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan y+2.

$$2x+3y+6=6$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah.

$$2x+3y=6-6$$

Tolak 6 daripada 6 untuk mendapatkan 0.

$$2x+3y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-8x-7y=-10$$

Tambahkan 7y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-8x=7y-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(7y-10\right)$$

Darabkan -\frac{1}{8} kali 7y-10.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}$$

Gantikan -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4} dengan x dalam persamaan lain, 2x+3y=0.

$$2\left(-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}\right)+3y=0$$

Darabkan 2 kali -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}+3y=0$$

Tambahkan -\frac{7y}{4} pada 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}=0$$

Tolak \frac{5}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{4}y=-\frac{5}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{7}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

Darabkan -\frac{7}{8} kali -2.

$$x=\frac{7+5}{4}$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada \frac{7}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 10, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Gabungkan -2y dan -5y untuk mendapatkan -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

Tolak 10x daripada kedua-dua belah.

$$2x-7y-10x=-10$$

Gabungkan 2x dan -10x untuk mendapatkan -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan y+2.

$$2x+3y+6=6$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah.

$$2x+3y=6-6$$

Tolak 6 daripada 6 untuk mendapatkan 0.

$$2x+3y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{8}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{7}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 10, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Gabungkan -2y dan -5y untuk mendapatkan -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

Tolak 10x daripada kedua-dua belah.

$$2x-7y-10x=-10$$

Gabungkan 2x dan -10x untuk mendapatkan -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan y+2.

$$2x+3y+6=6$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah.

$$2x+3y=6-6$$

Tolak 6 daripada 6 untuk mendapatkan 0.

$$2x+3y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Untuk menjadikan -8x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -8.

$$2\left(-8\right)x+2\left(-7\right)y=2\left(-10\right),-8\times 2x-8\times 3y=0$$

Permudahkan.

$$-16x-14y=-20,-16x-24y=0$$

Tolak -16x-24y=0 daripada -16x-14y=-20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-16x+16x-14y+24y=-20$$

Tambahkan -16x pada 16x. Seubtan -16x dan 16x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-14y+24y=-20$$

Tambahkan -14y pada 24y.

$$10y=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam 2x+3y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+3\left(-2\right)=0$$

Darabkan 3 kali -2.

$$2x-6=0$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-2$$