Selesaikan {l}{x-y/2-y/3=1}{2x+y/2=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 2 } - \frac { y } { 3 } = 1 } \\ { \frac { 2 x + y } { 2 } = y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{6}{7}\approx -0.857142857$$

$$y = -\frac{12}{7} = -1\frac{5}{7} \approx -1.714285714$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-y.

$$3x-3y-2y=6$$

Gabungkan -3y dan -2y untuk mendapatkan -5y.

$$3x-5y=6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Bahagikan setiap sebutan 2x+y dengan 2 untuk mendapatkan x+\frac{1}{2}y.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

Gabungkan \frac{1}{2}y dan -y untuk mendapatkan -\frac{1}{2}y.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-5y=6$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=5y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 5y+6.

$$x=\frac{5}{3}y+2$$

Gantikan \frac{5y}{3}+2 dengan x dalam persamaan lain, x-\frac{1}{2}y=0.

$$\frac{5}{3}y+2-\frac{1}{2}y=0$$

Tambahkan \frac{5y}{3} pada -\frac{y}{2}.

$$\frac{7}{6}y+2=0$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{6}y=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{6} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{12}{7}$$

Gantikan -\frac{12}{7} dengan y dalam x=\frac{5}{3}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{12}{7}\right)+2$$

Darabkan \frac{5}{3} dengan -\frac{12}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{20}{7}+2$$

Tambahkan 2 pada -\frac{20}{7}.

$$x=-\frac{6}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-y.

$$3x-3y-2y=6$$

Gabungkan -3y dan -2y untuk mendapatkan -5y.

$$3x-5y=6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Bahagikan setiap sebutan 2x+y dengan 2 untuk mendapatkan x+\frac{1}{2}y.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

Gabungkan \frac{1}{2}y dan -y untuk mendapatkan -\frac{1}{2}y.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{10}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{6}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{7}\\-\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-y.

$$3x-3y-2y=6$$

Gabungkan -3y dan -2y untuk mendapatkan -5y.

$$3x-5y=6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Bahagikan setiap sebutan 2x+y dengan 2 untuk mendapatkan x+\frac{1}{2}y.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

Gabungkan \frac{1}{2}y dan -y untuk mendapatkan -\frac{1}{2}y.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x-5y=6,3x+3\left(-\frac{1}{2}\right)y=0$$

Permudahkan.

$$3x-5y=6,3x-\frac{3}{2}y=0$$

Tolak 3x-\frac{3}{2}y=0 daripada 3x-5y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x-5y+\frac{3}{2}y=6$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-5y+\frac{3}{2}y=6$$

Tambahkan -5y pada \frac{3y}{2}.

$$-\frac{7}{2}y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{12}{7}$$

Gantikan -\frac{12}{7} dengan y dalam x-\frac{1}{2}y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-\frac{1}{2}\left(-\frac{12}{7}\right)=0$$

Darabkan -\frac{1}{2} dengan -\frac{12}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x+\frac{6}{7}=0$$

Tolak \frac{6}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{6}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$