Selesaikan {l}{x/y=e}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { y } = e } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{e}{e+1}\approx 0.731058579$$

$$y=\frac{1}{e+1}\approx 0.268941421$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan y.

$$x=ey$$

Gantikan ey dengan x dalam persamaan lain, x+y=1.

$$ey+y=1$$

Tambahkan ey pada y.

$$\left(e+1\right)y=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan e+1.

$$y=\frac{1}{e+1}$$

Gantikan \frac{1}{e+1} dengan y dalam x=ey. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=e\times \frac{1}{e+1}$$

Darabkan e kali \frac{1}{e+1}.

$$x=\frac{e}{e+1}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 0.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan y.

$$x=ey$$

Tolak ey daripada kedua-dua belah.

$$x-ey=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-e\right)}&-\frac{-e}{1-\left(-e\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-e\right)}&\frac{1}{1-\left(-e\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{e+1}&\frac{e}{e+1}\\-\frac{1}{e+1}&\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{e}{e+1}\\\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 0.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan y.

$$x=ey$$

Tolak ey daripada kedua-dua belah.

$$x-ey=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

Tolak x+y=1 daripada x+\left(-e\right)y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x+\left(-e\right)y-y=-1$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\left(-e\right)y-y=-1$$

Tambahkan -ey pada -y.

$$\left(-e-1\right)y=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -e-1.

$$y=\frac{1}{e+1}$$

Gantikan \frac{1}{1+e} dengan y dalam x+y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+\frac{1}{e+1}=1$$

Tolak \frac{1}{1+e} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{e}{e+1}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 0.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$