Selesaikan {l}{x/60+y/30=6*5}{x/50+y/40=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 60 } + \frac { y } { 30 } = 6 \cdot 5 } \\ { \frac { x } { 50 } + \frac { y } { 40 } = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2200$$

$$y=2000$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{1}{60}x+\frac{1}{30}y=30,\frac{1}{50}x+\frac{1}{40}y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{1}{60}x+\frac{1}{30}y=30$$

Tolak \frac{y}{30} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{60}x=-\frac{1}{30}y+30$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 60.

$$x=60\left(-\frac{1}{30}y+30\right)$$

Darabkan 60 kali -\frac{y}{30}+30.

$$x=-2y+1800$$

Gantikan -2y+1800 dengan x dalam persamaan lain, \frac{1}{50}x+\frac{1}{40}y=6.

$$\frac{1}{50}\left(-2y+1800\right)+\frac{1}{40}y=6$$

Darabkan \frac{1}{50} kali -2y+1800.

$$-\frac{1}{25}y+36+\frac{1}{40}y=6$$

Tambahkan -\frac{y}{25} pada \frac{y}{40}.

$$-\frac{3}{200}y+36=6$$

Tolak 36 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{3}{200}y=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{3}{200} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2000$$

Gantikan 2000 dengan y dalam x=-2y+1800. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times 2000+1800$$

Darabkan -2 kali 2000.

$$x=-4000+1800$$

Tambahkan 1800 pada -4000.

$$x=-2200$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2200,y=2000$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{1}{60}x+\frac{1}{30}y=30,\frac{1}{50}x+\frac{1}{40}y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{60}\times \frac{1}{40}-\frac{1}{30}\times \frac{1}{50}}&-\frac{\frac{1}{30}}{\frac{1}{60}\times \frac{1}{40}-\frac{1}{30}\times \frac{1}{50}}\\-\frac{\frac{1}{50}}{\frac{1}{60}\times \frac{1}{40}-\frac{1}{30}\times \frac{1}{50}}&\frac{\frac{1}{60}}{\frac{1}{60}\times \frac{1}{40}-\frac{1}{30}\times \frac{1}{50}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-100&\frac{400}{3}\\80&-\frac{200}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-100\times 30+\frac{400}{3}\times 6\\80\times 30-\frac{200}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2200\\2000\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2200,y=2000$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$\frac{1}{60}x+\frac{1}{30}y=30,\frac{1}{50}x+\frac{1}{40}y=6$$

Untuk menjadikan \frac{x}{60} dan \frac{x}{50} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan \frac{1}{50} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan \frac{1}{60}.

$$\frac{1}{50}\times \frac{1}{60}x+\frac{1}{50}\times \frac{1}{30}y=\frac{1}{50}\times 30,\frac{1}{60}\times \frac{1}{50}x+\frac{1}{60}\times \frac{1}{40}y=\frac{1}{60}\times 6$$

Permudahkan.

$$\frac{1}{3000}x+\frac{1}{1500}y=\frac{3}{5},\frac{1}{3000}x+\frac{1}{2400}y=\frac{1}{10}$$

Tolak \frac{1}{3000}x+\frac{1}{2400}y=\frac{1}{10} daripada \frac{1}{3000}x+\frac{1}{1500}y=\frac{3}{5} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{1}{3000}x-\frac{1}{3000}x+\frac{1}{1500}y-\frac{1}{2400}y=\frac{3}{5}-\frac{1}{10}$$

Tambahkan \frac{x}{3000} pada -\frac{x}{3000}. Seubtan \frac{x}{3000} dan -\frac{x}{3000} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{1}{1500}y-\frac{1}{2400}y=\frac{3}{5}-\frac{1}{10}$$

Tambahkan \frac{y}{1500} pada -\frac{y}{2400}.

$$\frac{1}{4000}y=\frac{3}{5}-\frac{1}{10}$$

Tambahkan \frac{3}{5} pada -\frac{1}{10} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$\frac{1}{4000}y=\frac{1}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 4000.

$$y=2000$$

Gantikan 2000 dengan y dalam \frac{1}{50}x+\frac{1}{40}y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$\frac{1}{50}x+\frac{1}{40}\times 2000=6$$

Darabkan \frac{1}{40} kali 2000.

$$\frac{1}{50}x+50=6$$

Tolak 50 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{50}x=-44$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 50.

$$x=-2200$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2200,y=2000$$