Selesaikan {l}{x/6-y/5=-4}{x/4-y/6=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - \frac { y } { 5 } = - 4 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 6 } = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=12$$

$$y=30$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 30, gandaan sepunya terkecil sebanyak 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,6.

$$3x-2y=-24$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-6y=-120$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=6y-120$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-120\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -120+6y.

$$x=\frac{6}{5}y-24$$

Gantikan \frac{6y}{5}-24 dengan x dalam persamaan lain, 3x-2y=-24.

$$3\left(\frac{6}{5}y-24\right)-2y=-24$$

Darabkan 3 kali \frac{6y}{5}-24.

$$\frac{18}{5}y-72-2y=-24$$

Tambahkan \frac{18y}{5} pada -2y.

$$\frac{8}{5}y-72=-24$$

Tambahkan 72 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{8}{5}y=48$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{8}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=30$$

Gantikan 30 dengan y dalam x=\frac{6}{5}y-24. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{6}{5}\times 30-24$$

Darabkan \frac{6}{5} kali 30.

$$x=36-24$$

Tambahkan -24 pada 36.

$$x=12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=12,y=30$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 30, gandaan sepunya terkecil sebanyak 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,6.

$$3x-2y=-24$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-120\right)+\frac{3}{4}\left(-24\right)\\-\frac{3}{8}\left(-120\right)+\frac{5}{8}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\30\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=12,y=30$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 30, gandaan sepunya terkecil sebanyak 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,6.

$$3x-2y=-24$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Untuk menjadikan 5x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\left(-120\right),5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-24\right)$$

Permudahkan.

$$15x-18y=-360,15x-10y=-120$$

Tolak 15x-10y=-120 daripada 15x-18y=-360 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x-18y+10y=-360+120$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-18y+10y=-360+120$$

Tambahkan -18y pada 10y.

$$-8y=-360+120$$

Tambahkan -360 pada 120.

$$-8y=-240$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$y=30$$

Gantikan 30 dengan y dalam 3x-2y=-24. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-2\times 30=-24$$

Darabkan -2 kali 30.

$$3x-60=-24$$

Tambahkan 60 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=12,y=30$$