Selesaikan {l}{x/3-y/2=4}{x+y/12=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 4 } \\ { x + \frac { y } { 12 } = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y = -\frac{120}{19} = -6\frac{6}{19} \approx -6.315789474$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2x-3y=24$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12.

$$12x+y=24$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=24$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y+24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 24+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

Gantikan \frac{3y}{2}+12 dengan x dalam persamaan lain, 12x+y=24.

$$12\left(\frac{3}{2}y+12\right)+y=24$$

Darabkan 12 kali \frac{3y}{2}+12.

$$18y+144+y=24$$

Tambahkan 18y pada y.

$$19y+144=24$$

Tolak 144 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$19y=-120$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 19.

$$y=-\frac{120}{19}$$

Gantikan -\frac{120}{19} dengan y dalam x=\frac{3}{2}y+12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{19}\right)+12$$

Darabkan \frac{3}{2} dengan -\frac{120}{19} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{180}{19}+12$$

Tambahkan 12 pada -\frac{180}{19}.

$$x=\frac{48}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2x-3y=24$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12.

$$12x+y=24$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{2-\left(-3\times 12\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{6}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}\times 24+\frac{3}{38}\times 24\\-\frac{6}{19}\times 24+\frac{1}{19}\times 24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\-\frac{120}{19}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2x-3y=24$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12.

$$12x+y=24$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

Untuk menjadikan 2x dan 12x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 12 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$12\times 2x+12\left(-3\right)y=12\times 24,2\times 12x+2y=2\times 24$$

Permudahkan.

$$24x-36y=288,24x+2y=48$$

Tolak 24x+2y=48 daripada 24x-36y=288 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$24x-24x-36y-2y=288-48$$

Tambahkan 24x pada -24x. Seubtan 24x dan -24x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-36y-2y=288-48$$

Tambahkan -36y pada -2y.

$$-38y=288-48$$

Tambahkan 288 pada -48.

$$-38y=240$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -38.

$$y=-\frac{120}{19}$$

Gantikan -\frac{120}{19} dengan y dalam 12x+y=24. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$12x-\frac{120}{19}=24$$

Tambahkan \frac{120}{19} pada kedua-dua belah persamaan.

$$12x=\frac{576}{19}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$x=\frac{48}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$