Selesaikan {l}{x/3+y/4=-7/12}{x/2+frac{y}{3}=-frac{1}{6}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = - \frac { 7 } { 12 } } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 6 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=11$$

$$y=-17$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12}$$

Tolak \frac{y}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{12}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{12}\right)$$

Darabkan 3 kali -\frac{y}{4}-\frac{7}{12}.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}$$

Gantikan \frac{-3y-7}{4} dengan x dalam persamaan lain, \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}.

$$\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}\right)+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

Darabkan \frac{1}{2} kali \frac{-3y-7}{4}.

$$-\frac{3}{8}y-\frac{7}{8}+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

Tambahkan -\frac{3y}{8} pada \frac{y}{3}.

$$-\frac{1}{24}y-\frac{7}{8}=-\frac{1}{6}$$

Tambahkan \frac{7}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{24}y=\frac{17}{24}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -24.

$$y=-17$$

Gantikan -17 dengan y dalam x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-17\right)-\frac{7}{4}$$

Darabkan -\frac{3}{4} kali -17.

$$x=\frac{51-7}{4}$$

Tambahkan -\frac{7}{4} pada \frac{51}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=11$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=11,y=-17$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24&18\\36&-24\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\left(-\frac{7}{12}\right)+18\left(-\frac{1}{6}\right)\\36\left(-\frac{7}{12}\right)-24\left(-\frac{1}{6}\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=11,y=-17$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

Untuk menjadikan \frac{x}{3} dan \frac{x}{2} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan \frac{1}{2} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan \frac{1}{3}.

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}y=\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{12}\right),\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{6}\right)$$

Permudahkan.

$$\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=-\frac{7}{24},\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=-\frac{1}{18}$$

Tolak \frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=-\frac{1}{18} daripada \frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=-\frac{7}{24} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y-\frac{1}{9}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}$$

Tambahkan \frac{x}{6} pada -\frac{x}{6}. Seubtan \frac{x}{6} dan -\frac{x}{6} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{1}{8}y-\frac{1}{9}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}$$

Tambahkan \frac{y}{8} pada -\frac{y}{9}.

$$\frac{1}{72}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}$$

Tambahkan -\frac{7}{24} pada \frac{1}{18} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$\frac{1}{72}y=-\frac{17}{72}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 72.

$$y=-17$$

Gantikan -17 dengan y dalam \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\left(-17\right)=-\frac{1}{6}$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -17.

$$\frac{1}{2}x-\frac{17}{3}=-\frac{1}{6}$$

Tambahkan \frac{17}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}x=\frac{11}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=11$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=11,y=-17$$