Selesaikan {l}{x/3+y/4=2/2-6/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538$$

$$y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Lakukan pendaraban.

$$4x+3y=12-12$$

Tolak 12 daripada 12 untuk mendapatkan 0.

$$4x+3y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -10 dengan y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gabungkan 4y dan -10y untuk mendapatkan -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Gabungkan 5y dan -2y untuk mendapatkan 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Gabungkan 5x dan 2x untuk mendapatkan 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Tambahkan -15 dan 2 untuk dapatkan -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Tolak 7x daripada kedua-dua belah.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Gabungkan 8x dan -7x untuk mendapatkan x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Gabungkan -6y dan -3y untuk mendapatkan -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah.

$$x-9y=-13-20$$

Tolak 20 daripada -13 untuk mendapatkan -33.

$$x-9y=-33$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+3y=0$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-3y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -3y.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

Gantikan -\frac{3y}{4} dengan x dalam persamaan lain, x-9y=-33.

$$-\frac{3}{4}y-9y=-33$$

Tambahkan -\frac{3y}{4} pada -9y.

$$-\frac{39}{4}y=-33$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{39}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{44}{13}$$

Gantikan \frac{44}{13} dengan y dalam x=-\frac{3}{4}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}$$

Darabkan -\frac{3}{4} dengan \frac{44}{13} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{33}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Lakukan pendaraban.

$$4x+3y=12-12$$

Tolak 12 daripada 12 untuk mendapatkan 0.

$$4x+3y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -10 dengan y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gabungkan 4y dan -10y untuk mendapatkan -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Gabungkan 5y dan -2y untuk mendapatkan 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Gabungkan 5x dan 2x untuk mendapatkan 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Tambahkan -15 dan 2 untuk dapatkan -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Tolak 7x daripada kedua-dua belah.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Gabungkan 8x dan -7x untuk mendapatkan x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Gabungkan -6y dan -3y untuk mendapatkan -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah.

$$x-9y=-13-20$$

Tolak 20 daripada -13 untuk mendapatkan -33.

$$x-9y=-33$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Lakukan pendaraban.

$$4x+3y=12-12$$

Tolak 12 daripada 12 untuk mendapatkan 0.

$$4x+3y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -10 dengan y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gabungkan 4y dan -10y untuk mendapatkan -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Gabungkan 5y dan -2y untuk mendapatkan 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Gabungkan 5x dan 2x untuk mendapatkan 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Tambahkan -15 dan 2 untuk dapatkan -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Tolak 7x daripada kedua-dua belah.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Gabungkan 8x dan -7x untuk mendapatkan x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Gabungkan -6y dan -3y untuk mendapatkan -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah.

$$x-9y=-13-20$$

Tolak 20 daripada -13 untuk mendapatkan -33.

$$x-9y=-33$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Untuk menjadikan 4x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)$$

Permudahkan.

$$4x+3y=0,4x-36y=-132$$

Tolak 4x-36y=-132 daripada 4x+3y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x+3y+36y=132$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y+36y=132$$

Tambahkan 3y pada 36y.

$$39y=132$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 39.

$$y=\frac{44}{13}$$

Gantikan \frac{44}{13} dengan y dalam x-9y=-33. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-9\times \frac{44}{13}=-33$$

Darabkan -9 kali \frac{44}{13}.

$$x-\frac{396}{13}=-33$$

Tambahkan \frac{396}{13} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{33}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$