Selesaikan {l}{x/2+y/6=11/2}{2x/5-frac{y}{3}=-frac{1}{5}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 5 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Darabkan 1 dan 2 untuk mendapatkan 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Tambahkan 2 dan 1 untuk dapatkan 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Darabkan 3 dan 3 untuk mendapatkan 9.

$$3x+y=9$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 15, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Darabkan 3 dan 2 untuk mendapatkan 6.

$$6x-5y=-3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y=9$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y+9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y+9.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

Gantikan -\frac{y}{3}+3 dengan x dalam persamaan lain, 6x-5y=-3.

$$6\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-5y=-3$$

Darabkan 6 kali -\frac{y}{3}+3.

$$-2y+18-5y=-3$$

Tambahkan -2y pada -5y.

$$-7y+18=-3$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7y=-21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+3$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali 3.

$$x=-1+3$$

Tambahkan 3 pada -1.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Darabkan 1 dan 2 untuk mendapatkan 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Tambahkan 2 dan 1 untuk dapatkan 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Darabkan 3 dan 3 untuk mendapatkan 9.

$$3x+y=9$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 15, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Darabkan 3 dan 2 untuk mendapatkan 6.

$$6x-5y=-3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9+\frac{1}{21}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 9-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Darabkan 1 dan 2 untuk mendapatkan 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Tambahkan 2 dan 1 untuk dapatkan 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Darabkan 3 dan 3 untuk mendapatkan 9.

$$3x+y=9$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 15, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Darabkan 3 dan 2 untuk mendapatkan 6.

$$6x-5y=-3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Untuk menjadikan 3x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$6\times 3x+6y=6\times 9,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-3\right)$$

Permudahkan.

$$18x+6y=54,18x-15y=-9$$

Tolak 18x-15y=-9 daripada 18x+6y=54 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$18x-18x+6y+15y=54+9$$

Tambahkan 18x pada -18x. Seubtan 18x dan -18x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y+15y=54+9$$

Tambahkan 6y pada 15y.

$$21y=54+9$$

Tambahkan 54 pada 9.

$$21y=63$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 21.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam 6x-5y=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x-5\times 3=-3$$

Darabkan -5 kali 3.

$$6x-15=-3$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$