Selesaikan {l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

Langkah Menggunakan Penggantian dan Formula Kuadratik

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,2.

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak my daripada kedua-dua belah.

$$x-my=1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

Selesaikan x+\left(-m\right)y=1 untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+\left(-m\right)y=1$$

Tolak \left(-m\right)y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=my+1$$

Gantikan my+1 dengan x dalam persamaan lain, 2y^{2}+x^{2}=4.

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

Kuasa dua my+1.

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

Tambahkan 2y^{2} pada m^{2}y^{2}.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2+1m^{2} dengan a, 1\times 1\times 2m dengan b dan -3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Kuasa dua 1\times 1\times 2m.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Darabkan -4 kali 2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Darabkan -8-4m^{2} kali -3.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Tambahkan 4m^{2} pada 24+12m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 24+16m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Darabkan 2 kali 2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} apabila ± ialah plus. Tambahkan -2m pada 2\sqrt{6+4m^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

Bahagikan -2m+2\sqrt{6+4m^{2}} dengan 4+2m^{2}.

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} apabila ± ialah minus. Tolak 2\sqrt{6+4m^{2}} daripada -2m.

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

Bahagikan -2m-2\sqrt{6+4m^{2}} dengan 4+2m^{2}.

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

Terdapat dua penyelesaian untuk y: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} dan -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}. Gantikan \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} dengan y dalam persamaan x=my+1 untuk mencari penyelesaian sepadan bagi x yang memuaskan kedua-dua persamaan.

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

Darabkan m kali \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

Tambahkan m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} pada 1.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

Sekarang gantikan -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} dengan y dalam persamaan x=my+1 tersebut dan selesaikan untuk mencari penyelesaian sepadan bagi x yang memuaskan kedua-dua persamaan.

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

Darabkan m kali -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

Tambahkan m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) pada 1.

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

Selesaikan untuk x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$