Selesaikan {l}{x+y/8-y-x/2=1}{3x-1/6+y+3/3=frac{25}{6}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y } { 8 } - \frac { y - x } { 2 } = 1 } \\ { \frac { 3 x - 1 } { 6 } + \frac { y + 3 } { 3 } = \frac { 25 } { 6 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 8, gandaan sepunya terkecil sebanyak 8,2.

$$x+y-4\left(y-x\right)=8$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -4 dengan y-x.

$$x+y-4y+4x=8$$

Gabungkan y dan -4y untuk mendapatkan -3y.

$$x-3y+4x=8$$

Gabungkan x dan 4x untuk mendapatkan 5x.

$$5x-3y=8$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 6,3.

$$3x-1+2\left(y+3\right)=25$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y+3.

$$3x-1+2y+6=25$$

Tambahkan -1 dan 6 untuk dapatkan 5.

$$3x+5+2y=25$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah.

$$3x+2y=25-5$$

Tolak 5 daripada 25 untuk mendapatkan 20.

$$3x+2y=20$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-3y=8$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=3y+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 3y+8.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

Gantikan \frac{3y+8}{5} dengan x dalam persamaan lain, 3x+2y=20.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=20$$

Darabkan 3 kali \frac{3y+8}{5}.

$$\frac{9}{5}y+\frac{24}{5}+2y=20$$

Tambahkan \frac{9y}{5} pada 2y.

$$\frac{19}{5}y+\frac{24}{5}=20$$

Tolak \frac{24}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{19}{5}y=\frac{76}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{19}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{5}\times 4+\frac{8}{5}$$

Darabkan \frac{3}{5} kali 4.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

Tambahkan \frac{8}{5} pada \frac{12}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 8, gandaan sepunya terkecil sebanyak 8,2.

$$x+y-4\left(y-x\right)=8$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -4 dengan y-x.

$$x+y-4y+4x=8$$

Gabungkan y dan -4y untuk mendapatkan -3y.

$$x-3y+4x=8$$

Gabungkan x dan 4x untuk mendapatkan 5x.

$$5x-3y=8$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 6,3.

$$3x-1+2\left(y+3\right)=25$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y+3.

$$3x-1+2y+6=25$$

Tambahkan -1 dan 6 untuk dapatkan 5.

$$3x+5+2y=25$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah.

$$3x+2y=25-5$$

Tolak 5 daripada 25 untuk mendapatkan 20.

$$3x+2y=20$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 20\\-\frac{3}{19}\times 8+\frac{5}{19}\times 20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 8, gandaan sepunya terkecil sebanyak 8,2.

$$x+y-4\left(y-x\right)=8$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -4 dengan y-x.

$$x+y-4y+4x=8$$

Gabungkan y dan -4y untuk mendapatkan -3y.

$$x-3y+4x=8$$

Gabungkan x dan 4x untuk mendapatkan 5x.

$$5x-3y=8$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 6,3.

$$3x-1+2\left(y+3\right)=25$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y+3.

$$3x-1+2y+6=25$$

Tambahkan -1 dan 6 untuk dapatkan 5.

$$3x+5+2y=25$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah.

$$3x+2y=25-5$$

Tolak 5 daripada 25 untuk mendapatkan 20.

$$3x+2y=20$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Untuk menjadikan 5x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20$$

Permudahkan.

$$15x-9y=24,15x+10y=100$$

Tolak 15x+10y=100 daripada 15x-9y=24 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x-9y-10y=24-100$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-9y-10y=24-100$$

Tambahkan -9y pada -10y.

$$-19y=24-100$$

Tambahkan 24 pada -100.

$$-19y=-76$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -19.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam 3x+2y=20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2\times 4=20$$

Darabkan 2 kali 4.

$$3x+8=20$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=4$$