Selesaikan {l}{x+y/3+x-y/2=6}{3(x-y)-2(x-y)=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y } { 3 } + \frac { x - y } { 2 } = 6 } \\ { 3 ( x - y ) - 2 ( x - y ) = 28 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-26$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=36$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+y.

$$2x+2y+3\left(x-y\right)=36$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-y.

$$2x+2y+3x-3y=36$$

Gabungkan 2x dan 3x untuk mendapatkan 5x.

$$5x+2y-3y=36$$

Gabungkan 2y dan -3y untuk mendapatkan -y.

$$5x-y=36$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-y.

$$3x-3y-2\left(x-y\right)=28$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x-y.

$$3x-3y-2x+2y=28$$

Gabungkan 3x dan -2x untuk mendapatkan x.

$$x-3y+2y=28$$

Gabungkan -3y dan 2y untuk mendapatkan -y.

$$x-y=28$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-y=36,x-y=28$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-y=36$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=y+36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+36\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali y+36.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{36}{5}$$

Gantikan \frac{36+y}{5} dengan x dalam persamaan lain, x-y=28.

$$\frac{1}{5}y+\frac{36}{5}-y=28$$

Tambahkan \frac{y}{5} pada -y.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{36}{5}=28$$

Tolak \frac{36}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{4}{5}y=\frac{104}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{4}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-26$$

Gantikan -26 dengan y dalam x=\frac{1}{5}y+\frac{36}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{5}\left(-26\right)+\frac{36}{5}$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -26.

$$x=\frac{-26+36}{5}$$

Tambahkan \frac{36}{5} pada -\frac{26}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-26$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=36$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+y.

$$2x+2y+3\left(x-y\right)=36$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-y.

$$2x+2y+3x-3y=36$$

Gabungkan 2x dan 3x untuk mendapatkan 5x.

$$5x+2y-3y=36$$

Gabungkan 2y dan -3y untuk mendapatkan -y.

$$5x-y=36$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-y.

$$3x-3y-2\left(x-y\right)=28$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x-y.

$$3x-3y-2x+2y=28$$

Gabungkan 3x dan -2x untuk mendapatkan x.

$$x-3y+2y=28$$

Gabungkan -3y dan 2y untuk mendapatkan -y.

$$x-y=28$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-y=36,x-y=28$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\28\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\28\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\28\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\28\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{5\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\28\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{5}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\28\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 36-\frac{1}{4}\times 28\\\frac{1}{4}\times 36-\frac{5}{4}\times 28\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-26\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-26$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=36$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+y.

$$2x+2y+3\left(x-y\right)=36$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-y.

$$2x+2y+3x-3y=36$$

Gabungkan 2x dan 3x untuk mendapatkan 5x.

$$5x+2y-3y=36$$

Gabungkan 2y dan -3y untuk mendapatkan -y.

$$5x-y=36$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-y.

$$3x-3y-2\left(x-y\right)=28$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x-y.

$$3x-3y-2x+2y=28$$

Gabungkan 3x dan -2x untuk mendapatkan x.

$$x-3y+2y=28$$

Gabungkan -3y dan 2y untuk mendapatkan -y.

$$x-y=28$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-y=36,x-y=28$$

Tolak x-y=28 daripada 5x-y=36 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-x-y+y=36-28$$

Tambahkan -y pada y. Seubtan -y dan y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5x-x=36-28$$

Tambahkan 5x pada -x.

$$4x=36-28$$

Tambahkan 36 pada -28.

$$4x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam x-y=28. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2-y=28$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=26$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-26$$