Selesaikan {l}{x+y+2/3-y=2}{x/2+2y/3=x-4/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 2 } { 3 } - y = 2 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = x - \frac { 4 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$x+y+2-3y=6$$

Gabungkan y dan -3y untuk mendapatkan -2y.

$$x-2y+2=6$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=6-2$$

Tolak 2 daripada 6 untuk mendapatkan 4.

$$x-2y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Darabkan 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$3x+4y=6x-8$$

Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$3x+4y-6x=-8$$

Gabungkan 3x dan -6x untuk mendapatkan -3x.

$$-3x+4y=-8$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-2y=4$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2y+4$$

Gantikan 4+2y dengan x dalam persamaan lain, -3x+4y=-8.

$$-3\left(2y+4\right)+4y=-8$$

Darabkan -3 kali 4+2y.

$$-6y-12+4y=-8$$

Tambahkan -6y pada 4y.

$$-2y-12=-8$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=2y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2\left(-2\right)+4$$

Darabkan 2 kali -2.

$$x=-4+4$$

Tambahkan 4 pada -4.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$x+y+2-3y=6$$

Gabungkan y dan -3y untuk mendapatkan -2y.

$$x-2y+2=6$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=6-2$$

Tolak 2 daripada 6 untuk mendapatkan 4.

$$x-2y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Darabkan 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$3x+4y=6x-8$$

Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$3x+4y-6x=-8$$

Gabungkan 3x dan -6x untuk mendapatkan -3x.

$$-3x+4y=-8$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-\left(-8\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$x+y+2-3y=6$$

Gabungkan y dan -3y untuk mendapatkan -2y.

$$x-2y+2=6$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=6-2$$

Tolak 2 daripada 6 untuk mendapatkan 4.

$$x-2y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Darabkan 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$3x+4y=6x-8$$

Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$3x+4y-6x=-8$$

Gabungkan 3x dan -6x untuk mendapatkan -3x.

$$-3x+4y=-8$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Untuk menjadikan x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-3x-3\left(-2\right)y=-3\times 4,-3x+4y=-8$$

Permudahkan.

$$-3x+6y=-12,-3x+4y=-8$$

Tolak -3x+4y=-8 daripada -3x+6y=-12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3x+3x+6y-4y=-12+8$$

Tambahkan -3x pada 3x. Seubtan -3x dan 3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y-4y=-12+8$$

Tambahkan 6y pada -4y.

$$2y=-12+8$$

Tambahkan -12 pada 8.

$$2y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam -3x+4y=-8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+4\left(-2\right)=-8$$

Darabkan 4 kali -2.

$$-3x-8=-8$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-2$$