Selesaikan {l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan sebarang nilai -5,0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan y\left(y+5\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab y dengan x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab y+5 dengan x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Tolak yx daripada kedua-dua belah.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Gabungkan yx dan -yx untuk mendapatkan 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah.

$$2y-7y=5x+35$$

Gabungkan 2y dan -7y untuk mendapatkan -5y.

$$-5y=5x+35$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali 35+5x.

$$y=-x-7$$

Gantikan -x-7 dengan y dalam persamaan lain, -4y+2x=-1.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

Darabkan -4 kali -x-7.

$$4x+28+2x=-1$$

Tambahkan 4x pada 2x.

$$6x+28=-1$$

Tolak 28 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-29$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=-\frac{29}{6}$$

Gantikan -\frac{29}{6} dengan x dalam y=-x-7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

Darabkan -1 kali -\frac{29}{6}.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

Tambahkan -7 pada \frac{29}{6}.

$$y=-\frac{13}{6}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan sebarang nilai -5,0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan y\left(y+5\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab y dengan x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab y+5 dengan x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Tolak yx daripada kedua-dua belah.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Gabungkan yx dan -yx untuk mendapatkan 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah.

$$2y-7y=5x+35$$

Gabungkan 2y dan -7y untuk mendapatkan -5y.

$$-5y=5x+35$$

Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$-5y-5x=35$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan sebarang nilai -5,0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan y\left(y+5\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab y dengan x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab y+5 dengan x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Tolak yx daripada kedua-dua belah.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Gabungkan yx dan -yx untuk mendapatkan 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah.

$$2y-7y=5x+35$$

Gabungkan 2y dan -7y untuk mendapatkan -5y.

$$-5y=5x+35$$

Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$-5y-5x=35$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

Untuk menjadikan -5y dan -4y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -5.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

Permudahkan.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

Tolak 20y-10x=5 daripada 20y+20x=-140 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

Tambahkan 20y pada -20y. Seubtan 20y dan -20y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$20x+10x=-140-5$$

Tambahkan 20x pada 10x.

$$30x=-140-5$$

Tambahkan -140 pada -5.

$$30x=-145$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 30.

$$x=-\frac{29}{6}$$

Gantikan -\frac{29}{6} dengan x dalam -4y+2x=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

Darabkan 2 kali -\frac{29}{6}.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

Tambahkan \frac{29}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=-\frac{13}{6}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$