Selesaikan {l}{a/4-bln1/2+1/2=1+ln2}{a-2b=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { a } { 4 } - b \ln \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } = 1 + \ln 2 } \\ { a - 2 b = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=2$$

$$b=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

Tolak 2 daripada 4 untuk mendapatkan 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 64 dengan \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}).

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 4 dalam 64 dan 4.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32$$

Tolak 64\ln(2)b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$16a=\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$a=\frac{1}{16}\left(\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32\right)$$

Darabkan \frac{1}{16} kali -64\ln(2)b+32+64\ln(2).

$$a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2$$

Gantikan -4\ln(2)b+2+4\ln(2) dengan a dalam persamaan lain, a-2b=0.

$$\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2-2b=0$$

Tambahkan -4\ln(2)b pada -2b.

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b+4\ln(2)+2=0$$

Tolak 2+4\ln(2) daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b=-4\ln(2)-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4\ln(2)-2.

$$b=1$$

Gantikan 1 dengan b dalam a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-4\ln(2)+4\ln(2)+2$$

Tambahkan 2+4\ln(2) pada -4\ln(2).

$$a=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=2,b=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

Tolak 2 daripada 4 untuk mendapatkan 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 64 dengan \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}).

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 4 dalam 64 dan 4.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&-\frac{64\ln(2)}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\\-\frac{1}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&\frac{16}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}&\frac{2\ln(2)}{2\ln(2)+1}\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}&-\frac{1}{2\left(2\ln(2)+1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=2,b=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

Tolak 2 daripada 4 untuk mendapatkan 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 64 dengan \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}).

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 4 dalam 64 dan 4.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

Untuk menjadikan 16a dan a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 16.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a+16\left(-2\right)b=0$$

Permudahkan.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a-32b=0$$

Tolak 16a-32b=0 daripada 16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$16a-16a+64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

Tambahkan 16a pada -16a. Seubtan 16a dan -16a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

Tambahkan 64\ln(2)b pada 32b.

$$\left(64\ln(2)+32\right)b=64\ln(2)+32$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 32+64\ln(2).

$$b=1$$

Gantikan 1 dengan b dalam a-2b=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a-2=0$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$a=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=2,b=1$$