Selesaikan {l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 40, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Darabkan 10 dan 5 untuk mendapatkan 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 50 dengan x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Darabkan -4 dan 3 untuk mendapatkan -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -12 dengan 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Tolak 12 daripada -150 untuk mendapatkan -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -7 dengan x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Tolak 7 daripada 4 untuk mendapatkan -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Tambahkan 35x pada kedua-dua belah.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Gabungkan 50x dan 35x untuk mendapatkan 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Tambahkan 35y pada kedua-dua belah.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Gabungkan -24y dan 35y untuk mendapatkan 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Tambahkan 162 pada kedua-dua belah.

$$85x+11y=-15+162$$

Tambahkan -15 dan 162 untuk dapatkan 147.

$$85x+11y=147$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -5 dengan 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Tolak 35 daripada kedua-dua belah.

$$6x-10y=21-35$$

Tolak 35 daripada 21 untuk mendapatkan -14.

$$6x-10y=-14$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$85x+11y=147$$

Tolak 11y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$85x=-11y+147$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 85.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

Darabkan \frac{1}{85} kali -11y+147.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

Gantikan \frac{-11y+147}{85} dengan x dalam persamaan lain, 6x-10y=-14.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

Darabkan 6 kali \frac{-11y+147}{85}.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

Tambahkan -\frac{66y}{85} pada -10y.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

Tolak \frac{882}{85} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{916}{85} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{518}{229}$$

Gantikan \frac{518}{229} dengan y dalam x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

Darabkan -\frac{11}{85} dengan \frac{518}{229} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

Tambahkan \frac{147}{85} pada -\frac{5698}{19465} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{329}{229}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 40, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Darabkan 10 dan 5 untuk mendapatkan 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 50 dengan x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Darabkan -4 dan 3 untuk mendapatkan -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -12 dengan 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Tolak 12 daripada -150 untuk mendapatkan -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -7 dengan x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Tolak 7 daripada 4 untuk mendapatkan -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Tambahkan 35x pada kedua-dua belah.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Gabungkan 50x dan 35x untuk mendapatkan 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Tambahkan 35y pada kedua-dua belah.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Gabungkan -24y dan 35y untuk mendapatkan 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Tambahkan 162 pada kedua-dua belah.

$$85x+11y=-15+162$$

Tambahkan -15 dan 162 untuk dapatkan 147.

$$85x+11y=147$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -5 dengan 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Tolak 35 daripada kedua-dua belah.

$$6x-10y=21-35$$

Tolak 35 daripada 21 untuk mendapatkan -14.

$$6x-10y=-14$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 40, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Darabkan 10 dan 5 untuk mendapatkan 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 50 dengan x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Darabkan -4 dan 3 untuk mendapatkan -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -12 dengan 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Tolak 12 daripada -150 untuk mendapatkan -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -7 dengan x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Tolak 7 daripada 4 untuk mendapatkan -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Tambahkan 35x pada kedua-dua belah.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Gabungkan 50x dan 35x untuk mendapatkan 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Tambahkan 35y pada kedua-dua belah.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Gabungkan -24y dan 35y untuk mendapatkan 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Tambahkan 162 pada kedua-dua belah.

$$85x+11y=-15+162$$

Tambahkan -15 dan 162 untuk dapatkan 147.

$$85x+11y=147$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -5 dengan 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Tolak 35 daripada kedua-dua belah.

$$6x-10y=21-35$$

Tolak 35 daripada 21 untuk mendapatkan -14.

$$6x-10y=-14$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Untuk menjadikan 85x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 85.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

Permudahkan.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

Tolak 510x-850y=-1190 daripada 510x+66y=882 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

Tambahkan 510x pada -510x. Seubtan 510x dan -510x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$66y+850y=882+1190$$

Tambahkan 66y pada 850y.

$$916y=882+1190$$

Tambahkan 882 pada 1190.

$$916y=2072$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 916.

$$y=\frac{518}{229}$$

Gantikan \frac{518}{229} dengan y dalam 6x-10y=-14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

Darabkan -10 kali \frac{518}{229}.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

Tambahkan \frac{5180}{229} pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{329}{229}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$