Selesaikan {l}{3x-7/4-2y+1/6=0}{x+2/5-5y+4/3=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 7 } { 4 } - \frac { 2 y + 1 } { 6 } = 0 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } - \frac { 5 y + 4 } { 3 } = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan 2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

Tolak 2 daripada -21 untuk mendapatkan -23.

$$9x-23-4y=0$$

Tambahkan 23 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$9x-4y=23$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 15, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -5 dengan 5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

Tolak 20 daripada 6 untuk mendapatkan -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Tambahkan 14 pada kedua-dua belah.

$$3x-25y=-30+14$$

Tambahkan -30 dan 14 untuk dapatkan -16.

$$3x-25y=-16$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$9x-4y=23$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=4y+23$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+23\right)$$

Darabkan \frac{1}{9} kali 4y+23.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}$$

Gantikan \frac{4y+23}{9} dengan x dalam persamaan lain, 3x-25y=-16.

$$3\left(\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}\right)-25y=-16$$

Darabkan 3 kali \frac{4y+23}{9}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{23}{3}-25y=-16$$

Tambahkan \frac{4y}{3} pada -25y.

$$-\frac{71}{3}y+\frac{23}{3}=-16$$

Tolak \frac{23}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{71}{3}y=-\frac{71}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{71}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{4+23}{9}$$

Tambahkan \frac{23}{9} pada \frac{4}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan 2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

Tolak 2 daripada -21 untuk mendapatkan -23.

$$9x-23-4y=0$$

Tambahkan 23 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$9x-4y=23$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 15, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -5 dengan 5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

Tolak 20 daripada 6 untuk mendapatkan -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Tambahkan 14 pada kedua-dua belah.

$$3x-25y=-30+14$$

Tambahkan -30 dan 14 untuk dapatkan -16.

$$3x-25y=-16$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{9}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}&-\frac{4}{213}\\\frac{1}{71}&-\frac{3}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}\times 23-\frac{4}{213}\left(-16\right)\\\frac{1}{71}\times 23-\frac{3}{71}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan 2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

Tolak 2 daripada -21 untuk mendapatkan -23.

$$9x-23-4y=0$$

Tambahkan 23 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$9x-4y=23$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 15, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -5 dengan 5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

Tolak 20 daripada 6 untuk mendapatkan -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Tambahkan 14 pada kedua-dua belah.

$$3x-25y=-30+14$$

Tambahkan -30 dan 14 untuk dapatkan -16.

$$3x-25y=-16$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Untuk menjadikan 9x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 9.

$$3\times 9x+3\left(-4\right)y=3\times 23,9\times 3x+9\left(-25\right)y=9\left(-16\right)$$

Permudahkan.

$$27x-12y=69,27x-225y=-144$$

Tolak 27x-225y=-144 daripada 27x-12y=69 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$27x-27x-12y+225y=69+144$$

Tambahkan 27x pada -27x. Seubtan 27x dan -27x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12y+225y=69+144$$

Tambahkan -12y pada 225y.

$$213y=69+144$$

Tambahkan 69 pada 144.

$$213y=213$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 213.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam 3x-25y=-16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-25=-16$$

Tambahkan 25 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=1$$