Selesaikan {l}{3x-1/2-4y-7/3=2}{3y-6/4-5-x/6=-1frac{5}{12}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 1 } { 2 } - \frac { 4 y - 7 } { 3 } = 2 } \\ { \frac { 3 y - 6 } { 4 } - \frac { 5 - x } { 6 } = - 1 \frac { 5 } { 12 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan 4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Tambahkan -3 dan 14 untuk dapatkan 11.

$$9x+11-8y=12$$

Tolak 11 daripada kedua-dua belah.

$$9x-8y=12-11$$

Tolak 11 daripada 12 untuk mendapatkan 1.

$$9x-8y=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan 5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Tolak 10 daripada -18 untuk mendapatkan -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Darabkan 1 dan 12 untuk mendapatkan 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Tambahkan 12 dan 5 untuk dapatkan 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Tambahkan 28 pada kedua-dua belah.

$$9y+2x=-17+28$$

Tambahkan -17 dan 28 untuk dapatkan 11.

$$9y+2x=11$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$9x-8y=1$$

Tambahkan 8y pada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=8y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(8y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{9} kali 8y+1.

$$x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}$$

Gantikan \frac{8y+1}{9} dengan x dalam persamaan lain, 2x+9y=11.

$$2\left(\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)+9y=11$$

Darabkan 2 kali \frac{8y+1}{9}.

$$\frac{16}{9}y+\frac{2}{9}+9y=11$$

Tambahkan \frac{16y}{9} pada 9y.

$$\frac{97}{9}y+\frac{2}{9}=11$$

Tolak \frac{2}{9} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{97}{9}y=\frac{97}{9}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{97}{9} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{8+1}{9}$$

Tambahkan \frac{1}{9} pada \frac{8}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan 4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Tambahkan -3 dan 14 untuk dapatkan 11.

$$9x+11-8y=12$$

Tolak 11 daripada kedua-dua belah.

$$9x-8y=12-11$$

Tolak 11 daripada 12 untuk mendapatkan 1.

$$9x-8y=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan 5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Tolak 10 daripada -18 untuk mendapatkan -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Darabkan 1 dan 12 untuk mendapatkan 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Tambahkan 12 dan 5 untuk dapatkan 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Tambahkan 28 pada kedua-dua belah.

$$9y+2x=-17+28$$

Tambahkan -17 dan 28 untuk dapatkan 11.

$$9y+2x=11$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}&\frac{8}{97}\\-\frac{2}{97}&\frac{9}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}+\frac{8}{97}\times 11\\-\frac{2}{97}+\frac{9}{97}\times 11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan 4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Tambahkan -3 dan 14 untuk dapatkan 11.

$$9x+11-8y=12$$

Tolak 11 daripada kedua-dua belah.

$$9x-8y=12-11$$

Tolak 11 daripada 12 untuk mendapatkan 1.

$$9x-8y=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan 5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Tolak 10 daripada -18 untuk mendapatkan -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Darabkan 1 dan 12 untuk mendapatkan 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Tambahkan 12 dan 5 untuk dapatkan 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Tambahkan 28 pada kedua-dua belah.

$$9y+2x=-17+28$$

Tambahkan -17 dan 28 untuk dapatkan 11.

$$9y+2x=11$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Untuk menjadikan 9x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 9.

$$2\times 9x+2\left(-8\right)y=2,9\times 2x+9\times 9y=9\times 11$$

Permudahkan.

$$18x-16y=2,18x+81y=99$$

Tolak 18x+81y=99 daripada 18x-16y=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$18x-18x-16y-81y=2-99$$

Tambahkan 18x pada -18x. Seubtan 18x dan -18x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-16y-81y=2-99$$

Tambahkan -16y pada -81y.

$$-97y=2-99$$

Tambahkan 2 pada -99.

$$-97y=-97$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -97.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam 2x+9y=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+9=11$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=1$$