Selesaikan {l}{3x+5y/6=-5}{2(x+7)+3y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x + 5 y } { 6 } = - 5 } \\ { 2 ( x + 7 ) + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-5$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah dengan 6.

$$3x+5y=-5\times 6$$

Darabkan -5 dan 6 untuk mendapatkan -30.

$$3x+5y=-30$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+7.

$$2x+14+3y=-5$$

Tolak 14 daripada kedua-dua belah.

$$2x+3y=-5-14$$

Tolak 14 daripada -5 untuk mendapatkan -19.

$$2x+3y=-19$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+5y=-30$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-5y-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-30\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -5y-30.

$$x=-\frac{5}{3}y-10$$

Gantikan -\frac{5y}{3}-10 dengan x dalam persamaan lain, 2x+3y=-19.

$$2\left(-\frac{5}{3}y-10\right)+3y=-19$$

Darabkan 2 kali -\frac{5y}{3}-10.

$$-\frac{10}{3}y-20+3y=-19$$

Tambahkan -\frac{10y}{3} pada 3y.

$$-\frac{1}{3}y-20=-19$$

Tambahkan 20 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{3}y=1$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=-\frac{5}{3}y-10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-10$$

Darabkan -\frac{5}{3} kali -3.

$$x=5-10$$

Tambahkan -10 pada 5.

$$x=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah dengan 6.

$$3x+5y=-5\times 6$$

Darabkan -5 dan 6 untuk mendapatkan -30.

$$3x+5y=-30$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+7.

$$2x+14+3y=-5$$

Tolak 14 daripada kedua-dua belah.

$$2x+3y=-5-14$$

Tolak 14 daripada -5 untuk mendapatkan -19.

$$2x+3y=-19$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-30\right)+5\left(-19\right)\\2\left(-30\right)-3\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-5,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah dengan 6.

$$3x+5y=-5\times 6$$

Darabkan -5 dan 6 untuk mendapatkan -30.

$$3x+5y=-30$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+7.

$$2x+14+3y=-5$$

Tolak 14 daripada kedua-dua belah.

$$2x+3y=-5-14$$

Tolak 14 daripada -5 untuk mendapatkan -19.

$$2x+3y=-19$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\left(-30\right),3\times 2x+3\times 3y=3\left(-19\right)$$

Permudahkan.

$$6x+10y=-60,6x+9y=-57$$

Tolak 6x+9y=-57 daripada 6x+10y=-60 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+10y-9y=-60+57$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10y-9y=-60+57$$

Tambahkan 10y pada -9y.

$$y=-60+57$$

Tambahkan -60 pada 57.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam 2x+3y=-19. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+3\left(-3\right)=-19$$

Darabkan 3 kali -3.

$$2x-9=-19$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=-3$$