Selesaikan {l}{3/2x+1/3y=1}{x/4-1/6y=-frac{3}{2}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 2 } x + \frac { 1 } { 3 } y = 1 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { 1 } { 6 } y = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1$$

Tolak \frac{y}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{1}{3}y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}y+1\right)$$

Darabkan \frac{2}{3} kali -\frac{y}{3}+1.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}$$

Gantikan -\frac{2y}{9}+\frac{2}{3} dengan x dalam persamaan lain, \frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}.

$$\frac{1}{4}\left(-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}\right)-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -\frac{2y}{9}+\frac{2}{3}.

$$-\frac{1}{18}y+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Tambahkan -\frac{y}{18} pada -\frac{y}{6}.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{1}{6}=-\frac{3}{2}$$

Tolak \frac{1}{6} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{2}{9}y=-\frac{5}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{2}{9} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{15}{2}$$

Gantikan \frac{15}{2} dengan y dalam x=-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{15}{2}+\frac{2}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{9} dengan \frac{15}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada -\frac{5}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=\frac{15}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{4}&-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1-3}{2}\\\frac{3}{4}-\frac{9}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=\frac{15}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Untuk menjadikan \frac{3x}{2} dan \frac{x}{4} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan \frac{1}{4} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan \frac{3}{2}.

$$\frac{1}{4}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{4},\frac{3}{2}\times \frac{1}{4}x+\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)$$

Permudahkan.

$$\frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y=\frac{1}{4},\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}y=-\frac{9}{4}$$

Tolak \frac{3}{8}x-\frac{1}{4}y=-\frac{9}{4} daripada \frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y=\frac{1}{4} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y+\frac{1}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

Tambahkan \frac{3x}{8} pada -\frac{3x}{8}. Seubtan \frac{3x}{8} dan -\frac{3x}{8} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{1}{12}y+\frac{1}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

Tambahkan \frac{y}{12} pada \frac{y}{4}.

$$\frac{1}{3}y=\frac{1+9}{4}$$

Tambahkan \frac{1}{4} pada \frac{9}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$\frac{1}{3}y=\frac{5}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=\frac{15}{2}$$

Gantikan \frac{15}{2} dengan y dalam \frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}\times \frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Darabkan -\frac{1}{6} dengan \frac{15}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}=-\frac{3}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=\frac{15}{2}$$