Selesaikan {l}{2x-y/5=3}{x+y/3=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y } { 5 } = 3 } \\ { \frac { x + y } { 3 } = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=8$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah dengan 5.

$$2x-y=3\times 5$$

Darabkan 3 dan 5 untuk mendapatkan 15.

$$2x-y=15$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$x+y=3\times 3$$

Darabkan 3 dan 3 untuk mendapatkan 9.

$$x+y=9$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-y=15,x+y=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=15$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=y+15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+15\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali y+15.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}$$

Gantikan \frac{15+y}{2} dengan x dalam persamaan lain, x+y=9.

$$\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}+y=9$$

Tambahkan \frac{y}{2} pada y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}=9$$

Tolak \frac{15}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{2}y=\frac{3}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1+15}{2}$$

Tambahkan \frac{15}{2} pada \frac{1}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah dengan 5.

$$2x-y=3\times 5$$

Darabkan 3 dan 5 untuk mendapatkan 15.

$$2x-y=15$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$x+y=3\times 3$$

Darabkan 3 dan 3 untuk mendapatkan 9.

$$x+y=9$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-y=15,x+y=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15+\frac{1}{3}\times 9\\-\frac{1}{3}\times 15+\frac{2}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=8,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah dengan 5.

$$2x-y=3\times 5$$

Darabkan 3 dan 5 untuk mendapatkan 15.

$$2x-y=15$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$x+y=3\times 3$$

Darabkan 3 dan 3 untuk mendapatkan 9.

$$x+y=9$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-y=15,x+y=9$$

Untuk menjadikan 2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2x-y=15,2x+2y=2\times 9$$

Permudahkan.

$$2x-y=15,2x+2y=18$$

Tolak 2x+2y=18 daripada 2x-y=15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-y-2y=15-18$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-y-2y=15-18$$

Tambahkan -y pada -2y.

$$-3y=15-18$$

Tambahkan 15 pada -18.

$$-3y=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x+y=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+1=9$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=1$$