Selesaikan {l}{2x-5/3+3y-4/3=-1/3}{y=x+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 5 } { 3 } + \frac { 3 y - 4 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Tolak 4 daripada -5 untuk mendapatkan -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah.

$$2x+3y=-1+9$$

Tambahkan -1 dan 9 untuk dapatkan 8.

$$2x+3y=8$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=8$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Gantikan -\frac{3y}{2}+4 dengan x dalam persamaan lain, -x+y=5.

$$-\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+y=5$$

Darabkan -1 kali -\frac{3y}{2}+4.

$$\frac{3}{2}y-4+y=5$$

Tambahkan \frac{3y}{2} pada y.

$$\frac{5}{2}y-4=5$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{2}y=9$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{18}{5}$$

Gantikan \frac{18}{5} dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+4$$

Darabkan -\frac{3}{2} dengan \frac{18}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{27}{5}+4$$

Tambahkan 4 pada -\frac{27}{5}.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Tolak 4 daripada -5 untuk mendapatkan -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah.

$$2x+3y=-1+9$$

Tambahkan -1 dan 9 untuk dapatkan 8.

$$2x+3y=8$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{3}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Tolak 4 daripada -5 untuk mendapatkan -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah.

$$2x+3y=-1+9$$

Tambahkan -1 dan 9 untuk dapatkan 8.

$$2x+3y=8$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Untuk menjadikan 2x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-2x-3y=-8,2\left(-1\right)x+2y=2\times 5$$

Permudahkan.

$$-2x-3y=-8,-2x+2y=10$$

Tolak -2x+2y=10 daripada -2x-3y=-8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x-3y-2y=-8-10$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y-2y=-8-10$$

Tambahkan -3y pada -2y.

$$-5y=-8-10$$

Tambahkan -8 pada -10.

$$-5y=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=\frac{18}{5}$$

Gantikan \frac{18}{5} dengan y dalam -x+y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+\frac{18}{5}=5$$

Tolak \frac{18}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=\frac{7}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$