Selesaikan {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=7+2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 7 + 2 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-5$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Gabungkan 7y dan 3y untuk mendapatkan 10y.

$$2x+10y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x+5y-1=14+4x$$

Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$2x+5y-1-4x=14$$

Gabungkan 2x dan -4x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x+5y-1=14$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah.

$$-2x+5y=14+1$$

Tambahkan 14 dan 1 untuk dapatkan 15.

$$-2x+5y=15$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+10y=0$$

Tolak 10y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-10y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -10y.

$$x=-5y$$

Gantikan -5y dengan x dalam persamaan lain, -2x+5y=15.

$$-2\left(-5\right)y+5y=15$$

Darabkan -2 kali -5y.

$$10y+5y=15$$

Tambahkan 10y pada 5y.

$$15y=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 15.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=-5y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Gabungkan 7y dan 3y untuk mendapatkan 10y.

$$2x+10y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x+5y-1=14+4x$$

Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$2x+5y-1-4x=14$$

Gabungkan 2x dan -4x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x+5y-1=14$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah.

$$-2x+5y=14+1$$

Tambahkan 14 dan 1 untuk dapatkan 15.

$$-2x+5y=15$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\left(-2\right)}&-\frac{10}{2\times 5-10\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 5-10\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 5-10\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 15\\\frac{1}{15}\times 15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-5,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Gabungkan 7y dan 3y untuk mendapatkan 10y.

$$2x+10y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x+5y-1=14+4x$$

Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$2x+5y-1-4x=14$$

Gabungkan 2x dan -4x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x+5y-1=14$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah.

$$-2x+5y=14+1$$

Tambahkan 14 dan 1 untuk dapatkan 15.

$$-2x+5y=15$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

Untuk menjadikan 2x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-2\times 2x-2\times 10y=0,2\left(-2\right)x+2\times 5y=2\times 15$$

Permudahkan.

$$-4x-20y=0,-4x+10y=30$$

Tolak -4x+10y=30 daripada -4x-20y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-4x+4x-20y-10y=-30$$

Tambahkan -4x pada 4x. Seubtan -4x dan 4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-20y-10y=-30$$

Tambahkan -20y pada -10y.

$$-30y=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -30.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam -2x+5y=15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x+5=15$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=1$$