Selesaikan {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Gabungkan 7y dan 3y untuk mendapatkan 10y.

$$2x+10y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Gabungkan 2x dan 2x untuk mendapatkan 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah.

$$4x+5y=4+1$$

Tambahkan 4 dan 1 untuk dapatkan 5.

$$4x+5y=5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+10y=0$$

Tolak 10y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-10y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -10y.

$$x=-5y$$

Gantikan -5y dengan x dalam persamaan lain, 4x+5y=5.

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

Darabkan 4 kali -5y.

$$-20y+5y=5$$

Tambahkan -20y pada 5y.

$$-15y=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -15.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Gantikan -\frac{1}{3} dengan y dalam x=-5y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

Darabkan -5 kali -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Gabungkan 7y dan 3y untuk mendapatkan 10y.

$$2x+10y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Gabungkan 2x dan 2x untuk mendapatkan 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah.

$$4x+5y=4+1$$

Tambahkan 4 dan 1 untuk dapatkan 5.

$$4x+5y=5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Gabungkan 7y dan 3y untuk mendapatkan 10y.

$$2x+10y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Gabungkan 2x dan 2x untuk mendapatkan 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah.

$$4x+5y=4+1$$

Tambahkan 4 dan 1 untuk dapatkan 5.

$$4x+5y=5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

Permudahkan.

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

Tolak 8x+10y=10 daripada 8x+40y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$40y-10y=-10$$

Tambahkan 40y pada -10y.

$$30y=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 30.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Gantikan -\frac{1}{3} dengan y dalam 4x+5y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

Darabkan 5 kali -\frac{1}{3}.

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

Tambahkan \frac{5}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{20}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$