Selesaikan {l}{1/2x-4y=30}{y-2x=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - 4 y = 30 } \\ { y - 2 x = 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-12$$

$$y=-9$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{1}{2}x-4y=30,-2x+y=15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{1}{2}x-4y=30$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}x=4y+30$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=2\left(4y+30\right)$$

Darabkan 2 kali 4y+30.

$$x=8y+60$$

Gantikan 8y+60 dengan x dalam persamaan lain, -2x+y=15.

$$-2\left(8y+60\right)+y=15$$

Darabkan -2 kali 8y+60.

$$-16y-120+y=15$$

Tambahkan -16y pada y.

$$-15y-120=15$$

Tambahkan 120 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-15y=135$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -15.

$$y=-9$$

Gantikan -9 dengan y dalam x=8y+60. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=8\left(-9\right)+60$$

Darabkan 8 kali -9.

$$x=-72+60$$

Tambahkan 60 pada -72.

$$x=-12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-12,y=-9$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{1}{2}x-4y=30,-2x+y=15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{1}{2}-\left(-4\left(-2\right)\right)}&-\frac{-4}{\frac{1}{2}-\left(-4\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{\frac{1}{2}-\left(-4\left(-2\right)\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\left(-4\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&-\frac{8}{15}\\-\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 30-\frac{8}{15}\times 15\\-\frac{4}{15}\times 30-\frac{1}{15}\times 15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-9\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-12,y=-9$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$\frac{1}{2}x-4y=30,-2x+y=15$$

Untuk menjadikan \frac{x}{2} dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan \frac{1}{2}.

$$-2\times \frac{1}{2}x-2\left(-4\right)y=-2\times 30,\frac{1}{2}\left(-2\right)x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\times 15$$

Permudahkan.

$$-x+8y=-60,-x+\frac{1}{2}y=\frac{15}{2}$$

Tolak -x+\frac{1}{2}y=\frac{15}{2} daripada -x+8y=-60 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-x+x+8y-\frac{1}{2}y=-60-\frac{15}{2}$$

Tambahkan -x pada x. Seubtan -x dan x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y-\frac{1}{2}y=-60-\frac{15}{2}$$

Tambahkan 8y pada -\frac{y}{2}.

$$\frac{15}{2}y=-60-\frac{15}{2}$$

Tambahkan -60 pada -\frac{15}{2}.

$$\frac{15}{2}y=-\frac{135}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{15}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-9$$

Gantikan -9 dengan y dalam -2x+y=15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x-9=15$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-12,y=-9$$