Selesaikan {c}{y=2-2x}{5y+2x=14}

$$\left\{ \begin{array} { c } { y = 2 - 2 x } \\ { 5 y + 2 x = 14 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+2x=2$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-2x+2$$

Gantikan -2x+2 dengan y dalam persamaan lain, 5y+2x=14.

$$5\left(-2x+2\right)+2x=14$$

Darabkan 5 kali -2x+2.

$$-10x+10+2x=14$$

Tambahkan -10x pada 2x.

$$-8x+10=14$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-8x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{1}{2} dengan x dalam y=-2x+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-2\left(-\frac{1}{2}\right)+2$$

Darabkan -2 kali -\frac{1}{2}.

$$y=1+2$$

Tambahkan 2 pada 1.

$$y=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-2\times 5}&-\frac{2}{2-2\times 5}\\-\frac{5}{2-2\times 5}&\frac{1}{2-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{5}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\times 14\\\frac{5}{8}\times 2-\frac{1}{8}\times 14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

Tolak 5y+2x=14 daripada y+2x=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-5y+2x-2x=2-14$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y-5y=2-14$$

Tambahkan y pada -5y.

$$-4y=2-14$$

Tambahkan 2 pada -14.

$$-4y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam 5y+2x=14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5\times 3+2x=14$$

Darabkan 5 kali 3.

$$15+2x=14$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$