Selesaikan {c}{x-3-2(y+1)=-12}{3(x-2y)-2y=-21}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x - 3 - 2 ( y + 1 ) = - 12 } \\ { 3 ( x - 2 y ) - 2 y = - 21 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-7$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan y+1.

$$x-3-2y-2=-12$$

Tolak 2 daripada -3 untuk mendapatkan -5.

$$x-5-2y=-12$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah.

$$x-2y=-12+5$$

Tambahkan -12 dan 5 untuk dapatkan -7.

$$x-2y=-7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-2y.

$$3x-6y-2y=-21$$

Gabungkan -6y dan -2y untuk mendapatkan -8y.

$$3x-8y=-21$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-2y=-7,3x-8y=-21$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-2y=-7$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2y-7$$

Gantikan 2y-7 dengan x dalam persamaan lain, 3x-8y=-21.

$$3\left(2y-7\right)-8y=-21$$

Darabkan 3 kali 2y-7.

$$6y-21-8y=-21$$

Tambahkan 6y pada -8y.

$$-2y-21=-21$$

Tambahkan 21 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=2y-7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-7,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan y+1.

$$x-3-2y-2=-12$$

Tolak 2 daripada -3 untuk mendapatkan -5.

$$x-5-2y=-12$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah.

$$x-2y=-12+5$$

Tambahkan -12 dan 5 untuk dapatkan -7.

$$x-2y=-7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-2y.

$$3x-6y-2y=-21$$

Gabungkan -6y dan -2y untuk mendapatkan -8y.

$$3x-8y=-21$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-2y=-7,3x-8y=-21$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-8-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-8-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{-8-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\left(-7\right)-\left(-21\right)\\\frac{3}{2}\left(-7\right)-\frac{1}{2}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-7,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan y+1.

$$x-3-2y-2=-12$$

Tolak 2 daripada -3 untuk mendapatkan -5.

$$x-5-2y=-12$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah.

$$x-2y=-12+5$$

Tambahkan -12 dan 5 untuk dapatkan -7.

$$x-2y=-7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-2y.

$$3x-6y-2y=-21$$

Gabungkan -6y dan -2y untuk mendapatkan -8y.

$$3x-8y=-21$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-2y=-7,3x-8y=-21$$

Untuk menjadikan x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\left(-7\right),3x-8y=-21$$

Permudahkan.

$$3x-6y=-21,3x-8y=-21$$

Tolak 3x-8y=-21 daripada 3x-6y=-21 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x-6y+8y=-21+21$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y+8y=-21+21$$

Tambahkan -6y pada 8y.

$$2y=-21+21$$

Tambahkan -21 pada 21.

$$2y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 3x-8y=-21. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x=-21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-7,y=0$$