Selesaikan {c}{x+4y=12}{2x-y=6}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + 4 y = 12 } \\ { 2 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+4y=12,2x-y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+4y=12$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-4y+12$$

Gantikan -4y+12 dengan x dalam persamaan lain, 2x-y=6.

$$2\left(-4y+12\right)-y=6$$

Darabkan 2 kali -4y+12.

$$-8y+24-y=6$$

Tambahkan -8y pada -y.

$$-9y+24=6$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-9y=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-4y+12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-4\times 2+12$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=-8+12$$

Tambahkan 12 pada -8.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+4y=12,2x-y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4\times 2}&-\frac{4}{-1-4\times 2}\\-\frac{2}{-1-4\times 2}&\frac{1}{-1-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 12+\frac{4}{9}\times 6\\\frac{2}{9}\times 12-\frac{1}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+4y=12,2x-y=6$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2\times 4y=2\times 12,2x-y=6$$

Permudahkan.

$$2x+8y=24,2x-y=6$$

Tolak 2x-y=6 daripada 2x+8y=24 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+8y+y=24-6$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y+y=24-6$$

Tambahkan 8y pada y.

$$9y=24-6$$

Tambahkan 24 pada -6.

$$9y=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 2x-y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-2=6$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=2$$