Selesaikan {c}{x+2y=1}{-3x+y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + 2 y = 1 } \\ { - 3 x + y = - 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y=1,-3x+y=-10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=1$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y+1$$

Gantikan -2y+1 dengan x dalam persamaan lain, -3x+y=-10.

$$-3\left(-2y+1\right)+y=-10$$

Darabkan -3 kali -2y+1.

$$6y-3+y=-10$$

Tambahkan 6y pada y.

$$7y-3=-10$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7y=-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-2y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\left(-1\right)+1$$

Darabkan -2 kali -1.

$$x=2+1$$

Tambahkan 1 pada 2.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y=1,-3x+y=-10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-2\left(-3\right)}&\frac{1}{1-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}-\frac{2}{7}\left(-10\right)\\\frac{3}{7}+\frac{1}{7}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y=1,-3x+y=-10$$

Untuk menjadikan x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-3x-3\times 2y=-3,-3x+y=-10$$

Permudahkan.

$$-3x-6y=-3,-3x+y=-10$$

Tolak -3x+y=-10 daripada -3x-6y=-3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3x+3x-6y-y=-3+10$$

Tambahkan -3x pada 3x. Seubtan -3x dan 3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y-y=-3+10$$

Tambahkan -6y pada -y.

$$-7y=-3+10$$

Tambahkan -3 pada 10.

$$-7y=7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam -3x+y=-10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x-1=-10$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-1$$