Selesaikan {c}{5x-y=27}{-3x+4y=-23}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 5 x - y = 27 } \\ { - 3 x + 4 y = - 23 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-y=27,-3x+4y=-23$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-y=27$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=y+27$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+27\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali y+27.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{27}{5}$$

Gantikan \frac{27+y}{5} dengan x dalam persamaan lain, -3x+4y=-23.

$$-3\left(\frac{1}{5}y+\frac{27}{5}\right)+4y=-23$$

Darabkan -3 kali \frac{27+y}{5}.

$$-\frac{3}{5}y-\frac{81}{5}+4y=-23$$

Tambahkan -\frac{3y}{5} pada 4y.

$$\frac{17}{5}y-\frac{81}{5}=-23$$

Tambahkan \frac{81}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{17}{5}y=-\frac{34}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{17}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=\frac{1}{5}y+\frac{27}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{27}{5}$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -2.

$$x=\frac{-2+27}{5}$$

Tambahkan \frac{27}{5} pada -\frac{2}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-y=27,-3x+4y=-23$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 4-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{3}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 27+\frac{1}{17}\left(-23\right)\\\frac{3}{17}\times 27+\frac{5}{17}\left(-23\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-y=27,-3x+4y=-23$$

Untuk menjadikan 5x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-3\times 5x-3\left(-1\right)y=-3\times 27,5\left(-3\right)x+5\times 4y=5\left(-23\right)$$

Permudahkan.

$$-15x+3y=-81,-15x+20y=-115$$

Tolak -15x+20y=-115 daripada -15x+3y=-81 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-15x+15x+3y-20y=-81+115$$

Tambahkan -15x pada 15x. Seubtan -15x dan 15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y-20y=-81+115$$

Tambahkan 3y pada -20y.

$$-17y=-81+115$$

Tambahkan -81 pada 115.

$$-17y=34$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -17.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam -3x+4y=-23. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+4\left(-2\right)=-23$$

Darabkan 4 kali -2.

$$-3x-8=-23$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-2$$